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Thorild Dahlgren 
coup plus général En vertu d’un théorème récent de M. Littlewood \ nous donne- 
rons au théorème principal la forme suivante: 
»La série et l’intégrale 
OO CO 
et j f{x) dx 
convergent et divergent en même temps, 
si la fonction f{x), qui pour x*->cc tendra vers zéro, a une dérivée p iémc con- 
tinue et bornée; et si l’intégrale 
00 
/ Bp[z)f P M dz 
est convergente, B p [z) désignant une certaine fonction périodique.» 
Daus la seconde partie du Chapitre II, nous passerons à des séries et des in- 
tégrales doubles et multiples. Nous donnerons d’abord le théorème de Cauchy 
pour la série et l’intégrale 
CO, 00 00 GO 
V /(rn, n) et f j f(x, y) dx dy , 
et la généralisation correspondant à notre théorème du § 5. 
Puis nous démontrerons quelques théorèmes sur la relation entre la convergence 
et la divergence d’une série double et de l’intégrale double correspondante, théorèmes 
tout à fait analogues à ceux de M. Hardy du § 7 et de MM. Hardy et Nörlund 
du § 10. C’est en établissant la formule sornmatoire d’EüLER-MAcLAURiN pour les 
fonctions de deux variables que nous arriverons à la généralisation de ce dernier 
théorème. 
Dans les derniers paragraphes du Chapitre II, nous considérerons une fonction 
particulière, à savoir 
f[x + t t -f- t 2 ) , 
le théorème précédent admettant, dans ce cas, une forme assez simple: 
»La série et l’intégrale doubles 
CO, GO CO GO 
2 /(* + V 1 W 1 + V 2 w 2) et // A x + *1 4- h) dt l dt 2 
convergent et divergent en même temps, si la fonction /(#), qui pour £— > co tendra 
vers zéro, admet une dérivée continue de l’ordre et si les intégrales 
CO CO GO 
f /(*) dz et J J I f {m \t l -f y I dt x dt 2 
sont convergentes.» 
En général, les théorèmes s’étendent immédiatement à des fonctions de plusieurs 
variables. 
1 The converse of Abel’s theorem on poioer series ( Proceedings , etc., 2° sér., t. 9, 1910, p. 434 — 448). 
Hardy and Littlewood, Contributions to the arithmetic theory of series ( Proceedings , etc., 
2 C sér, t. 11, 1912, p. 411-478). 
