Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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Les théorèmes sur la relation entre la convergence des séries et des intégrales 
peuvent être considérés comme des critères intégrales de première espèce. Dans le 
chapitre suivant, nous auront souvent l’occasion de les appliquer en cette qualité. 
On pourrait encore employer les relations du Chapitre II pour établir des égalités 
asymptotiques entre la série et l’intégrale en question. Cependant, dans ces recherches, 
ces dernières égalités n’ont pour nous qu’un intérêt secondaire. 
Le Chapitre III est consacré aux recherches sur les théorèmes de condensation 
et sur les autres théorèmes de transformation pour les séries simples (Section I), 
ainsi que pour les séries doubles et multiples (Section II). 
Dans le § 18, nous donnerons une démonstration tout à fait rigoureuse du théo- 
rème de Cauchy, les démonstrations figurant dans la littérature n’étant pas parfaite- 
ment exactes. Remarquons d’ailleurs, déjà à cette place, que la condition de Cauchy, 
au sujet des termes de la série, qu’ils doivent être décroissants, n’est pas une re- 
striction essentielle. Car une série convergente à termes positifs est absolument con- 
vergente. Par conséquent, l’ordre des termes de la série n’a aucune influence sur 
la question de convergence ou divergence de la série. On peut donc appliquer, d’une 
manière ou d’une autre, le théorème de condensation à une série quelconque à 
termes positifs. 
Dans les §§ 19—21, nous donnerons quelques théorèmes de transformation pour 
les séries à termes positifs, dont le plus général est conçu en ces termes: 
»Soit f(x ) une fonction positive, tendant vers zéro pour x >— ►<», et telle que 
~ < O 0 < 0 < 1 , c const. > 0; 
/N 
soit <p(x) une fonction positive et croissant vers l’infini pour x oo , admettant une 
dérivée continue et positive, telle que 
<c > 0 < 6 < 1 , c const. > 0. 
Alors, les séries 
OO OO 
S /(») et 2 *'(») 
convergent et divergent en même temps.» 
Remarquons encore qu’on peut de ces théorèmes tirer le théorème bien connu 
d’ÂBEL, retrouvé par M. Pringsheim, qu’on a 
nf(n) — > 0 , n > — >■ ce , 
pour les séries à termes positifs et décroissants. Et nous verrons, en outre, que ce 
théorème est encore vrai, sous certaines conditions, pour des séries à termes positifs 
mais non nécessairement constamment décroissants. 
En terminant cette section du Chapitre III, nous démontrerons, après l’avoir 
simplifié un peu en tenant compte du u théorème cité de M. Littlewood, un des 
théorèmes de transformation de M. Nörlund: 
»Soit f(x) une fonction tendant vers zéro pour x*->cc et admettant une dérivée 
i? !ème continüe et absolument intégrable; soit f(x) une fonction tendant vers l’infini 
