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Thorild Dahlgren 
pour x — ► oo et admettant une dérivée continue et bornée de l’ordre £>-)- 1; soient 
les dérivées <r W(x), i = 1 , 2, 3, . . p -(- 1, de signes constants; et soit la dérivée 
<v'(cc) bornée. 
Alors, les séries 
oo oo 
et ^ /(#?))?>-) 
sont, en même temps, convergentes et divergentes.» 
Dans la seconde section du Chapitre III, nous avons réuni les théorèmes de 
condensation et de transformation se rapportant aux séries doubles et aux séries 
multiples. En général, ces théorèmes ne sont que des généralisations immédiates 
de ceux de la première section du chapitre. Cependant, le théorème de transfor- 
mation le plus général étant assez compliqué, si nous considérons la série double 
2/l v i> v 2 ), nous nous dispenserons de le donner ici, nous contentant d'établir le théo- 
rème pour les séries doubles 
OC, CO 00, 00 
Yf{x + -f v 2 co 2 ) et + 'M v i) “i + ftK) “s) <Pl'( V l) ? 2 '( V 2 )- 
Pour n’être pas obligé de donner, à plusieurs reprises, des conditions telles 
que »à partir d’une certaine valeur de x» et d’autres semblables, nous avons em- 
ployé dans ces recherches les notations 
oo ce, oo 
y V et 
I’ ff> 
c’est à dire, nous n’avons pas indiqué les limites inférieures des séries et des 
intégrales. 
On pourrait encore effectuer des recherches de ce genre en considérant des 
séries et des intégrales sommables. Cependant, dans cette thèse, nous nous sommes 
borné aux recherches esquissées ci-dessus. 
Ajoutons encore que nous avons commencé des recherches sur la relation entre 
la convergence des séries et des intégrales et sur la transformation des séries, en 
considérant des critères intégrales de seconde espèce. 
Qu’il me soit permis d’exprimer ma profonde reconnaissance envers mes chers 
et vénérés maîtres, MM. T. Brodén et N. E. Nörlund, professeurs de mathéma- 
tiques à l’ Université de Lund, qui, pendant le cours de mes études universitaires, 
n’ont cessé de me témoigner l’intérêt le plus bienveillant. 
Comme on l’a vu, plusieurs des théorèmes de cette thèse remontent à M. Nör- 
lund. Et c’est en assistant à ses cours et en travaillant sous sa sûre direction que 
j’ai reçu les impressions qui ont inspiré cette étude. Je le prie de vouloir bien 
accepter ici l’hommage de ma sincère gratitude. 
