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Thorild Dahlgren 
§ 2. Définissons maintenant les nombres et les polynômes de Bernoulli 
doubles, 
I W 1 > “ 2 ) > 
par les développements 
QO 
<*>„ t , t V 
(1) 
et 
( 2 ) 
( ßtl>it — 1) (e^—l) 
cü 1 ü) 2 t 2 
(e^i 4 — 1) (e Mit — 1’ 
S »?’(“.•“*> 7r 
Des définitions des nombres I? v et des polynômes | <*>), on tire maintenant 
sans difficulté les relations 
^v 2) K - “ 2 ) = \i) Bi B v_i “a" 
lV 
1 “ 1 ) I w 8 ) ; 
en d’autres termes, les nombres et les polynômes de Bernoulli doubles s’expriment 
par les nombres et les polynômes de Bernoulli simples. Pour abréger, nous écri- 
rons dans la suite B^ au lieu de B < ^\(ü 1 , w 2 ) , et B^\z) pour B„\z | o> 1 , w 2 ). 
Dans le chapitre suivant, nous aurons besoin des valeurs de B^\z) pour les 
arguments 0 , co 1 , co 2 , w 1 -f- co 2 . En vertu des développements (1) et (2), on voit 
aisément que les polynômes B^\z) satisfont aux deux équations fonctionnelles simul- 
tanées 
( 4 ) 
= v B^,[z I o> 2 ) 
(4')' 
B® \z -f 
= v B v i(£| coJ, 
équations qui, dans la théorie de ces polynômes, sont d’une importance fondamental 
A l’aide des définitions et des équations aux différences, nous pouvons immédiate- 
ment écrire les formules que nous avons en vue: 
( 5 ) 
B ( -\0) = B { ? 
J3< 2) K) - 4 2) + co, w 2 v_1 v -Z? v _, 
B?\ o> 2 ) = B ? -h “2 v J5v - 1 
^ ( v 2) (io 1 + w a ) = B ( v 2) + ((— l)"- 1 Wj w 2 y + oqv-i w> ) y B v _j 
