Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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dont on peut encore simplifier la dernière en se rappelant que tous les /i v d’indice 
impair sont nuis, sauf B t : 
I Bv\i «q -j- “ 2 ) = 4 ° + ( w i (0 2 V_1 + to i v “ 1 “a) v Bv-i , v 4: 2 
(6) ( Jüfi K + »,) = B® . 
D’ailleurs, on peut exprimer B^\(ü 1 -(— co 2 ) à l’aide de 4^ seul. Car des développe- 
ments (2) et (1), il suit pour z = co 1 -(- w 2 
», <.<>, /- J UJ ‘ + UK;t — ÜJ 0) 2 f _ Y ^r-j (— <) V 
(e"'‘ - 1) (e”>‘ - 1 ) “ («-“■* - 1) - 1) ” h V ,! 
d’où 
(6) B?(», + »,) = (— O* B?- 
En passant, nous nous rappelons qu’on a de même 
_B V ( io I co) = ( — l) v B v . 
Ajoutons encore que l’équation (2), n fois différentiée par rapport à z, nous 
donne 
D” Bf{z) = v (v — 1) . . . (v — n -\- 1) B*v— n (z) . 
La première dérivée est donc 
(7) D,B${e) = vBgU{ 0 ), 
d’où, par intégration, les égalités 
(8) j B^\z 1 + z 2 ) dz x = ^ (4+1 K + * t ) - 4+1 (**)) = B,(z 2 I (o 2 ) 
0 
et 
U), (J) 2 U) 2 
j + *,) *1 = », |b v &) <fc s = 0 . 
0 0 Ô 
§ 3. Les nombres et les polynômes de Bernoulli multiples seront définis 
par les développements 
— t — **■■■•,* — _ y », »„Æ 
(e 1 — l)(e — 1) S, vl 
et 
- r - ^A r, = E I »„»„-,»,) 4 
