CHAPITRE II. 
Sur la relation entre la convergence des séries 
et des intégrales. 
I. Séries et intégrales simples. 
§ 4. Dans ses Exercices de Mathématiques, Cauchy 1 a démontré le théorème 
suivant sur la convergence des séries: 
Soit f(x) une fonction positive , à partir d’une certaine valeur de x, décroissante 
et tendant vers zéro, lorsque x augmente indéfiniment. Alors la série 
• 00 
est convergente ou divergente, suivant que l'intégrale 
00 
f f(x) dx 
a un sens ou non. 
Ce théorème, employé souvent dans des recherches sur la convergence des 
séries, peut être généralisé dans plusieurs directions. 
§ 5. D’abord, il ne faut pas nécessairement supposer que la fonction f{x) soit 
décroissante sans cesse. Le théorème reste encore vrai si l’irrégularité de la décrois- 
sance et la croissance de f(x ) n’est pas trop grande, c’est à dire, si l’oscillation reste 
comprise entre des bornes finies. En effet, on a le théorème: 
Théorème. — Soit f{x) une fonction positive, à partir d'une certaine valeur de 
x , et tendant vers zéro 
f{x) — > 0 , x — > co ; 
et supposons qu'elle décroisse de telle manière que 
^)<c, 
f{x) 
0 < 0 < 1 , 
1 Sur la convergence des séries ( Œuvres complètes, 2 e sér., t. 7, Paris, 1889, p. 267—279). Cf. 
surtout p. 272—273. 
Sous une autre forme, le théorème est déjà démontré par MacLaitrin, A treatise of fluxions, 
Edinburgh, 1742, p. 289—290. 
