Sur le théorème de condensation de Cauchy 
17 
c étant une constante positive finie. Dans ces conditions , la série et V intégrale 
00 00 
^ f{n) et I f(x) dx 
convergent et divergent en même temps. 
On a, en effet, les inégalités 
v + 1 
f(p 4- 0 t ) < f f(x) dx < f(p + e 2 ) , 0 < 0, < 1, » = 1,2, 
p 
f(p 4- 0 X ) et f(p 4- 0 2 ) étant la plus petite et la plus grande valeur de f(x) dans 
l’intervalle p<x <p 4- 1 ■ 
Or, suivant l’hypothèse, on a les inégalités 
\fip + 1) < f{p + 0) < cf(p), 0 < 0 < 1 , 
d’où 
i p f 1 
~AP + l ) < //(*) dx < cAp)- 
p 
Faisons maintenant varier l’entier p de n à m — 1, on trouve 
- 2 /(J>): < / A x ) dx < c V f(p) . 
' n+l n n 
Donc, la série 
CO 
et l’intégrale 
CO 
/ A x ) dx 
sont convergentes et divergentes en même temps. 
Parmi les fonctions susceptibles de l’application de ce théorème, il y a donc, 
entre autres, celles où les termes des séries qui en dérivent sont d’une oscillation 
ininterrompue. 
Par exemple, la fonction 
ii 
1 4 cos yy 
f( T ) = L , a > 0, 
' x"- 
nous donne, pour a= 1, 2, les séries 
00 
2 T + 1 + ■ g + \ + S + B + f + \ + ••• 
ïm = p +. p + + p + p + Jr + - 
etc. 
