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Thorild Dahlgren 
dont les termes sont, pour des valeurs de n suffisamment grandes, alternativement 
plus petits et plus grands que le terme précédent. 
Plus généralement, soit f(x) une fonction positive et décroissante; des fonctions 
telles que 
fix) (a -f- b cos x), a > b\ f(x) c a+f> cosx , c > 0; f(x)a x ~ E( - x \ a > 0, 
E[x) étant le plus grand entier inférieur à x, satisfont aux conditions du théorème. 
Remarque. — Il ne sera pas inutile de remarquer que le théorème de Cauchy 
et le théorème de ce paragraphe n’exigent pas nécessairement que la fonction f(x ) 
tende vers zéro pour x croissant vers l’infini. Il suffit que la fonction tende vers 
une limite déterminée et que la fonction soit plus grande que cette limite. 
En effet, f(x ) tendant vers la limite s 
f(x) —*■ s, x^co, 
nous n’avons qu’à considérer la fonction f(x ) — s au lieu de f{x) pour voir que 
les théorèmes restent encore vrais. 
§ 6. Considérons maintenant une généralisation intéressante du théorème de 
Cauchy, donnée, il y a dix ans, par M. Bromwich 1 . Il a montré qu’il est encore 
permis, sous certaines conditions, de multiplier une fonction positive et décroissante 
f(x) par un facteur oscillatoire sin cp(x) ou cos <p(x), sans que le théorème cesse 
d’être vrai. Voici son théorème: 
Soit f(x) une fonction positive et décroissante 
f(x) — >- 0 , x i — ► co ; 
soit f(x) une fonction positive et croissante 
<p(x) — *■ oo , x ►-> oo , 
admettant une dérivée décroissante 's'(x) 
<p'(.u) — >- 0, XI- ► oo ; 
et supposons que l'intégrale 
CO 
/ A x ) f » dx 
soit convergente. 
Dans ces conditions , la série 
y /00 Sin ?(n) 
- ' cos rv ’ 
et l'intégrale 
■ Jflè 
convergent et divergent en meme temps. 
1 The relation between the convergence of series and of integrals ( Proceedings , etc., 2 e sér., 
t. 6, 1908, p. 327-338). 
