Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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Dans ce théorème de M. Bromwich, il ne faut pas nécessairement supposer 
<p'(x) décroissante sans cesse. Et l’on pourrait en outre remplacer le facteur oscilla- 
toire ^ x par une fonction quelconque dont l’oscillation réste comprise entre des 
limites finies et dont la dérivée aussi est bornée. En réalité, le théorème est sus- 
ceptible de la généralisation suivante: 
Théorème. — - Soit f(x ) une fonction positive et décroissante 
f(x) -*■ 0 , x -► oc ; 
soit 'fix) une fonction dont V oscillation reste comprise entre des limites finies et dont 
la dérivée aussi est bornée 
I I < C, |fW|<C; 
soit fix) une fonction positive et croissante 
(p(x) I— >- 00 , x —*■ 00 , 
admettant une dérivée fi(x) tendant vers zéro 
c p'(x ) i — *■ 0 , x — > oo , 
et supposons 
pfo + e) 
<p'(x) 
c étant une constante positive et finie; 
soit, enfin , Vintégrale 
< c, 
00 
f f(x) fi(x) dx 
convergente. 
Bans ces conditions , la série 
e > o, 
00 
S Än) AA n )) 
et Vintégrale 
CO 
/ A x ) 'K'fW) dx 
sont convergentes et divergentes en même temps. 
La démonstration se rapproche de celle du théorème de M. Bromwich. Il ne 
faut que des modifications légères. 
Posons 
. Ax) wp)) = n*) 
et considérons la différence 
n + 1 
j F(x) dx — F(n) . 
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