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Thorild Dahlgren 
On trouve 
j F[x) dx — F(n) = f [F(n + x) — F{n)] dx 
n 0 
1 x 
=j dx j F'(n + y)dy. 
o o 
Or, 
I F'{n + y)\<G \f{n + y)\ + C \f(n + y)\ . \ f'(n + y )\ , 
les fonctions et ty'(x) étant inférieures à C. 
Des conditions concernant f(x ) et <p(cc) il résulte 
/'(x) < 0 , f'(x) > 0 . 
On en tire 
\F\n + y)\ < — Cf(n -t- y) -f Cf{n + y) . ÿ(n -f y) 
d’où, en vertu de la décroissance de f(x ) et de l’hypothèse relativement à <p'(;r), 
I F'(n + y)\< — Cf(n + y) + Ccf(n) f(n). 
Cela posé, on a 
c’est à dire 
J I F'(n -f y)\dy< C {fin) — f{n -f x)) -f Ccf[n ) ç(n ) . x 
< C (f[n) — f{n -f 1)) -f Ccf(n) 
x variant dans l’intervalle 0 < x < 1 . 
Donc, la différence satisfait à l’inégalité 
n-\-l 
j/ F[x) dx — F[n) j < C (/(») — /(» + 1)) + Ccf{n) f{n) 
En soumettaut cette inégalité à une sommation, on voit que le second membre 
a une limite. Car la série 
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£[/(») -/(«+!)] 
est évidemment convergente; et, en vertu du théorème du § 5, il en est de même 
de la série 
CO 
l’intégrale 
00 
jf{x) <p'(x) dx 
étant supposée convergente. 
