Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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Donc, la série et l’intégrale 
OO CO 
J] A n ) et / A x ) $(?(*)) dx 
convergent et divergent en même temps, c. q. f. d. 
Plus loin, dans un autre ordre d’idées, nous considérerons des fonctions satis- 
faisant aux conditions que doit remplir <[>(&), à savoir les fonctions périodiques 1 
By(x) = BJyX — E(xj) 
qui, en vertu de la relation (7'),’ admettent les dérivées 
V By—l[x) = V jB V — 1 (* — E(xj) . 
§ 7. Le théorème intéressant de M. Bromwich n’est qu’un cas particulier 
d’un théorème de M. Hardy 2 , qui a donné récemment le théorème important et 
élégant que nous écrirons sous la forme suivante 3 . 
Soit f{x) une fonction tendant vers zéro 
f{x) >-*■ 0 , x ' > co ; 
supposons qu’elle admette une dérivée continue f(x), et admettons que l’intégrale 
CO 
J \f\x) I dx 
soit convergente. Dans ces conditions , la série et V intégrale 
00 GO 
et f f{x)dx 
sont, en même temps , convergentes et divergentes. 
La démonstration se ramène essentiellement à l’identité élémentaire 
«4- 1 n-fi 
J (n + 1 — x)f[x) dx = — f{n) + j f(x) dx, 
n ri 
d’où on obtient l’inégalité 
n »+1 n+ 1 
I jfw dx I — / 1 /(*) I dx - 
1 1 1 
Dans ce qui suit, nous aurons souvent l’occasion de faire usage de ces deux 
relations. 
1 E(æ) désignant, comme à l’ordinaire, le plus grand entier inférieur à x. 
2 Theorems connected ivith M acLaukin’s test for the convergence of series ( Proceedings , etc., 
2 e sér., t. 9, 1910, p. 126—144). 
3 1. c., p. 127. 
