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Thorild Dahlgren 
§ 8. Dans cet ordre d’idées, M. Hardy 1 a généralisé immédiatement son 
théorème en démontrant un énoncé auquel nous donnerons la forme: 
Si l'une des deux intégrales 
«te, j\f ( ‘ t+, \x)\dx 
est convergente , 
et si la fonction f{x) et ses 2/c premières dérivées tendent vers zéro 
0, x — > oo , i — .0, 1 , 2, 27c , 
la série et l'intégrale 
oo 00 
e/ J f{x) dx 
convergent et divergent en même temps. 
Ce théorème a été redécouvert par M. Nörlund sous une forme différente et 
plus simple. 
§ 9. Mais avant de donner la forme définitive du théorème, nous nous 
arrêterons à un théorème d’une très grande importance qu’a donné récemment 
M. Littlewood * 2 et qu’il a plus tard 3 généralisé un peu: 
Soit f(x) une fonction admettant des dérivées d'ordres quelconques. Si f(x) a 
une limite 
fix ) !-> S , X ' — > oo , 
alors , si une certaine dérivée f^ P \x) est bornée 
\f' r V ) il < c, 
toutes les dérivées précédentes tendent vers zéro 
f® — > 0, i = 1, 2, 3, ...,p — 1. 
A l’aide de ce théorème, nous simplifierons un peu les conditions des théorèmes 
de MM. Hardy et Nörlund. 
§ 10. Voici le théorème : 
Théorème. — La serie 
]£/<» 
’ 1. c„ p. 129. 
2 The converse of Abel’s theorem on power series ( Proceedings , etc., 2 e sér., t. 9, 1910, p. 434 
—448). Voir p. 437—438. 
3 Hardy and Littlewood, Contributions to the arithmetic theory of series ( Proceedings , etc., 
2° ser., t. 11, 1912, p. 411-478). Voir p. 423. 
