Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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et l'intégrale 
00 
Jf(x) dx 
sont ou convergentes toutes les deux ou divergentes toutes les deux , 
si la fonction fix) a une dérivée p ième continue {p > 1); 
si f(x) tend vers zéro pour x tendant vers l'infini 
f(x) — > 0 , x —> oo , 
et s’il en est de même pour la dérivée de l’ordre p — 1, 
/ (p_1) (£c) — 0 , æ^oo; 
et si, enfin, l'intégrale 
CO 
I du 
est convergente , B p [z) désignant Va fonction périodique de z à la période 1 qui , pour 
0 j< z < 1 , se confond avec le polynôme de Bernoulli B p (z). 
Considérons la relation 
(9) f fix) dx - 2 /(*) = y} LA 0 ) -/Wl + Y\ “/'(")] + • • ■ + 
{ » 
n 
+ f >)]+(- 1)0 
0 
identité, qu’on vérifie aisément en partant de l’intégrale 
\^f/ r \x + z) te, 
0 
qu’on intègre par parties p fois, et en tenant compte des propriétés des polynômes 
de Bernoulli, esquissées dans le chapitre précédent. En remplaçant, dans le 
résultat, successivement f(x) par f(x -|- 1), f(x-\- n) et en ajoutant ces n égalités, 
on trouve la formule (9). L’identité (9) n’est d’ailleurs autre chose que la célèbre 
formule sommatoire découverte par Euler et MacLaurin 
Faisons maintenant tendre n vers l’infini, le second membre de (9) aura une 
limite. Car, par hypothèse, l’intégrale 
CO 
j ^f { %) dz 
1 Cette méthode simple d’établir la formule d’EuLiîR — MacLaurin nous semble introduite 
dans l’analyse par Imchenetsky, Sur les fonctions de Jacques Bernoulli, et sur l’expression de la 
différence entre une somme et une intégrale de même limites ( Giornale di matematiche, t. 9, 1871, 
p. 87—103). 
