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Thorild Dahlgien 
est convergente. Et nous avons en outre supposé 
fin) f — *■ 0 , n i — *■ oo 
et 
/“""(»HO, * 
d’où, en vertu du théorème de M. Littlewood, il viendra encore 
0, n i — > co , i=l,2, ...,p — 2. 
Par conséquent, le premier membre de (9) a aussi une limite, et le théorème 
est établi. 
Si l’intégrale 
00 
est absolument convergente, la dernière condition du théorème est toujours remplie. 
00 
Et de la convergence de l’intégrale j f (v \z) dz il suit que la dérivée / (p ~ l \z) a une 
limite pour z — *■ co . Le théorème obtiendra donc la forme très simple et élégante : 
Théorème. — La série et l’intégrale 
00 =0 
et jfixjdx 
convergent et divergent en même temps , si la fonction f[x) admet une dérivée p ième 
continue f (v \x) {p > 1 ) ; 
si l'intégrale 
oo 
/ |/ w M|<fc 
est convergente ; 
et si, enfin, 
f{x) • — ► 0 , x i — > co . 
Exemple. — Voir § 23. 
Le théorème de M. Hardy du § 7 est un cas particulier de ce théorème, à 
savoir p = 1 . 
Le théorème original de MacLaurin et de Cauchy est également renfermé dans 
ce cas particulier. 
En terminant ce paragraphe, donnons une fonction qui n’est pas absolument 
intégrable mais qui, multipliée par un polynôme de Bernoulli, nous donnera une 
intégrale convergente. 
Considérons la fonction 
sin xx 
x 
