Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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Cette fonction n’est pas absolument intégrable; car 
On a donc 
j - 1 sinju; I ^ ^ — 1 — f | g j n %x | (( ? r _ — j — f | s i n %x | dx — — °— - 
J i x \ n + 1 J n + 1 J n -\- 1 
n 0 
00 
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et l’intégrale est divergente. 
Considérons l’intégrale 
OU 
I 
dx> C (|+| + ï+ •••)’ 
~T> , V SU! KT . 
iî 2) (,x) dx , p impan 
On 
}kw 
x -j- n 
dx ; 
car, en vertu de la définition 1 , on a, dans l’intervalle en question, 
B p [x) — B p [x — n ) , n < x < w 4- 1- 
Par conséquent, on obtient 
r ■ 00 r 
f — sin 7TX v / i I T> / \ sm ^ ? 
I ^ dx = 1 (- !) j ^f~ n dx ' 
Or, les intégrales 
sm 7ü.x 
-BpM — ; — • <lx 
x -\ - n 
sont décroissantes pour n croissant. En vertu du critère de Leibniz l’intégrale est 
donc convergente. 
Il Séries et intégrales doubles et multiples. 
§ 11. Poursuivons maintenant notre comparaison des séries et des intégrales 
en considérant des fonctions de deux ou de plusieurs variables. 
La généralisation immediate du théorème fondamental de Cauchy est bien 
connue. Elle est conçue en ces termes 2 : 
1 Voir p. 21. 
2 Voir, par exemple, Picard, Traite (l'Analyse, t. I, 2 e éd., Paris, 1901, p. 289—290; ou 
Goursat, Cours d’ Analyse mathématique , t. I, 2 e éd., Paris, 1910, p. 424. 
