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Thorild Dahlgren 
Soit fix, y) une fonction positive, décroissante quand ta valeur de x ou celle de y 
croît , et tendant vers zéro, si Von fait croître x ou y à l’infini 
Alors la série double 
et l’intégrale double 
f(x, y)<-+ 0 , x — > oo ou y ~ — ► co . 
00 , 00 
2 A m ’ n ) 
sont ou convergentes toutes les deux ou divergentes toutes les deux. 
D’ailleurs, le théorème s’étend immédiatement, sous des hypothèses convenables, 
à des fonctions d’un nombre quelconque de variables. 
Mais aussi dans ce cas nous pouvons donner des théorèmes d’une étendue 
beaucoup plus grande. En profitant des idées émises dans les paragraphes 5 — 10, 
nous donnerons une suite de théorèmes de plus en plus étendus sur la relation 
entre la convergence et la divergence des séries et des intégrales. 
§ 12. D’abord nous démontrerons cette généralisation du théorème du § 5: 
Théorème. — Soit f(x, y) une fonction positive, à partir de certaines valeurs 
de x et de y, et_ tendant vers zéro si Von fait croître x ou y vers V infini 
f[x, y)*— >■ 0 , x>— >co ou y i— > co ; 
supposons en ordre que f(x, y) décroisse de telle manière que 
y( a! + 9 1> y + e 2 ) „ . 
A*> y) 
0<6<<1, i = 1,2, 
c étant une constante finie positive. Dans ces conditions , la série et l'intégrale doubles 
00 , 00 . 
5] /K n ) 
sont convergentes et divergentes en même temps. 
Evidemment, on a 
P+ 1 9+1 
/tp + 0 1. 2 + 0 2 ) < [ J A æ > V) dx fy < Ap + 0|.3 + 0 *). 0 < 6; < 1 , i = 1 , 2, 3, 4, 
P t 9 
f{p -f- 6, , q 4* 0 2 ) et f(p + Ö 3 » q + 0J étant la plus petite et la plus grande valeur 
de l’intégrande dans l’intervalle p<x<p-\-\, q<y<q-\- 1. Or, en vertu des 
hypothèses, on a les inégalités 
\ 2 ÂP + 1. ? + !) <AP + 6«, Q. + Oj) < <?fiP, q), 
