Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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d’où suivent 
P+ï 9+1 
c V/(i> + 1,«+1) < j \f{x,y)dxdy<c\f{p,q). 
En soumettant ces inégalités à une sommation double 1 * * * , il viendra 
Ta • S Ap> < /( x ' y) < c 2 • • 
Faisons maintenant tendre m 2 et n 2 vers l’infini, il s’ensuivra que la série double 
et l’intégrale double 
OO, 00 j? °? 
V f[m, n) et I f(x, y) dx dy 
convergent et divergent en même temps. 
Le mode de démonstration est évidemment général, et l’on peut énoncer le 
théorème analogue pour des séries et des intégrales multiples. 
§ 13. Au théorème du § 7 de M. Hardt correspond un théorème analogue 
pour les séries et les intégrales doubles et multiples. 
En effet, considérons l’intégrale double 
m+1 îi+l 
En intégrant par parties, on trouve 
m+1 )i+l m.+l 
(m- j- 1 — ■*) (n - f 1 — y) ^ dx dy 
dx dp 
= j (» + 1 — x) J (n + 1 — y ) 
8. fix, y) 
dx 
dx 
, 1 < f: r ' dx dy 
Or, 
m+1 
J (m + 1 — x) J (n + 1 — y) ( j r= j j ( OT +\— x ) (n + 1 — y) /(+, y) 
+i ,i+ 
f I 
(n + i — y) A x i y) dx '• 
1 Tout malentendu étant exclu, nous écrirons désormais, pour plus de commodité, 
m > V î JJ-2 » V 2 w=p. 2 ,«=v 2 
, ou mieux , au lieu de 
«==P-1 > W= V 1 ! X l > V 1 »!=(!.,, M=V, 
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