Thorild Dahlgren 
m + 1 ?i+1 
j J (w + 1 —y)f{x,y)dx 
m+ 1 n- f 1 m+l 71 + 1 
(n- 4-1 — £/) ^ X ' ^ dx dy — j [ f(x, y) dx dy . 
“ày JJ 
m+l n+ 
= 11 
On a done 
m+1 n+1 
I j* (m + 1 — x) {n + 1 - y) 8 dx dy = | j (m + l — a:) 
8/+, ?/) 
0a; 
dx dy 
/o 
W + l 71+1 771+1 
+ J J (n + 1 — y) dxdy — j j /(x, y) dx dy + /(m, ») . 
m n ■ m n J j 
Prenons les valeurs absolues, en observant que a: et y varient dans les inter- 
valles m < x' < m + 1 , n < y < n + 1 . Nous trouverons 
»)-} fpgÿ|*.*+j 1^4 
m 77, m n m n * m n 
En soumettant ces fonctions à une sommation double, il viendra 
m+l 77+1 m+l 71+1 771+1 71+1 171+1 71+1 
[ \\fff~fi d y + ] j| ^r\ dxd y + \ \\^r\ Ai ? d i 
i, i i i ii ii ii 
En vertu de cette inégalité, le théorème que nous avons en vue peut s’énoncer 
ainsi : 
Théorème. — Soit f(x, y) une fonction tendant vers zéro pour x ainsi que pour 
y augmentant indéfiniment 
f(x, y) — ► 0 , x — ► co ou y — >- co , 
et admettant des dérivées continues 
*1 d l a -LL 
dx' dy dx dy 
Si les trois intégrales 
CO CO 
I \fr dxdy ' I \fy dxdy a .1 .fs 
8 y 
r dy 
dx dy 
sont absolument convergentes , la série et l’intégrale doubles 
Qo, Qo r r 
V f(m, n) et I I f(x, y) dx dy 
convergent et divergent en même temps. 
