Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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Exemple. — La fonction 
f(z, y) = 
i[x a + y a . 
0 < a < 1, b > 0, 
x b + y b 
satisfait aux conditions du théorème, si l’on a b > 1 a. Donc, la série double 
m b + n b 
0 < a < 1 , 
converge pour b > 2 (1 — a), si 0 < a < ^ , et pour b > 1 + a, si ^ < a < 1 . 
En appliquant des raisonnements parfaitement analogues, le théorème s’étend 
à des fonctions de plusieurs variables. Pourvu que la fonction f(x x , x 2 , , x p ) tende 
vers zéro, tant qu’une des variables x 1} x 2 , ...,x p , n’importe laquelle, grandit indé- 
finiment 
f(x t , x 2 , ... , x p ) 0 , pour x^ — ► co ou æ 2 — co . . . ou x p — > co , 
et pourvu qu’elle admette des dérivées continues et absolument intégrables (inté- 
grations p"P les ) 
at, <=i,2 p- jy~. 
dXi dXi dXj 
dV 
dXi dXj dXk 
la série et l’intégrale j?"P les 
5]/K,w 2 , ...,%) et 
convergent et divergent en même temps. 
hj = L 2 > •••> P- 
i,j>k = 1,2, i^j'^k 
8 p f 
dx-i dx 2 ... dx p ’ 
/(#, , x 2 , ..., x p ) dx 1 dx g ... ilxp 
Comme nous l’avons déjà remarqué, dans le cas d’une seule variable, le 
théorème de M. Bromwich et ses généralisations (voir § 6) ne sont que des cas 
particuliers du théorème précédent. Nous nous dispenserons donc de les déduire 
ici, d’autant plus qu’il sont un peu compliqués. 
§ 14 . La généralisation des théorèmes des paragraphes 8 et 10 exige des 
considérations un peu plus approfondies. Le théorème s’énoncera en ces termes: 
Théorème. — La série double 
et l'intégrale double 
ce, oo 
00 00 _ 
sont ou convergentes toutes les deux ou divergentes toutes les deux , 
