Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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n’offrent pas de difficulté, 
et l’intégrale 
Car, par hypothèse, on a 
A* 0^0, #>—*■ cc \ 
CO 00 
JJ \f {m \ x + h + t a ) I *2 
est convergente, d'où 
Par conséquent, suivant le théorème de M. Littlewood, on a 
/^(#)’— >0, 0 — > co , à = 0, 1, 2, ..., m — 3. 
Enfin, l’intégrale 
00 CO 
Jj /’-'V + «, + 
est absolument convergente, et on en conclut, à l’aide de la formule de Taylor, 
sans difficulté, qu’il en est de même pour l’intégrale 
<x oo 
J J f (m \ x -Mi ~h Qdt x dt 3 . 
Donc, toutes les intégrales doubles dérivant , du reste convergent aussi. 
Le théorème énoncé est donc établi. 
Exemple. — La fonction 
iz a 
f(z) = e -—, • 0 < a < 1 , a + ß>l, 
satisfait aux conditions du théorème. Donc, la série et l’intégrale doubles 
oo,oo i {mn + bn+ c) a i (ax + by + c) a 
V — Q- et I ( — — ô- dx dy 
(am -\- bn -\- c)" J J ( ax -f by -f- c)P 
convergent et divergent en même temps. 
§ 17 . Les méthodes et les résultats des §§ 15 — 16 peuvent être étendues à 
des séries et des intégrales multiples. En appliquant parfaitement le raisonnement 
du § 15, et en tenant compte des propriétés des polynômes de Bernoulli multiples 
données dans le § 3, on trouvera, après des calculs très longs il est vrai, pour 
m > p — 1, l’identité suivante: 
(22 a) 
Ü) 1 CO, 
m 
ï=0 
0 0 
. I / ( \x 4 - 4 4 -^ 2 + • « 4 “ tp) dt 1 dt 2 . dtp 4 - E ! n f , 
o 
