CHAPITRE III. 
Quelques théorèmes de transformation. 
I. Séries simples. 
§ 18. Dans son Cours d’ Analysé, Cauchy 1 a démontré un théorème, qu’on 
a souvent appelé le théorème de condensation de Cauchy. Ordinairement, on lui a 
donné la forme suivante 2 : 
Soit une série à termes positifs et décroissants 
£/ 0 ); 
elle converge et diverge en même temps que la série 
S 
si l’on a 
a > 1. 
Les démonstrations de ce théorème figurant dans la littérature n’étant pas 
parfaitement exactes, nous commencerons ce chapitre en donnant deux démonstra- 
tions tout à fait rigoureuses du théorème. 
En désignant, suivant l’usage, par E(x) le plus grand entier inférieur à x, l’on 
aura les inégalités 
(30) [E(aP) - E(a*-i)] f(E(a *)) <f(E(a^) + l)f ...+f{E{aP)) < \_E{a?)-E{aP-']\ f(E(a *-*) + 1). 
En vertu des propriétés de la fonction E(x), on a 
E{x)<x pour se > 0 
et 
E [x )>^ pour x>\. 
Il suit de là 
(3 1) E(a p ) — E(aP ~ ] ) > E[a? — a»~') > - — = a p . 
et 
(32) E(aP) — E(a p ~ 1 ) < E{a p ) <a p = a. aP~\ 
1 Œuvres complètes, 2* sér., t. 3, Paris, 1897, p. 123 — 124. 
2 Voir, par exemple, Bokel, Leçons sur les séries à ternies positifs, Paris, 1902, p. 3 — 4. 
