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Thorild Dahlgren 
En tenant compte de ces dernières inégalités, les relations (30) deviennent 
a — 1 
2 a 
«VC«*) </(*'(«*-') + 1) +... + /(£M< a . a*»«*- 1 ) 
Faisons varier ÿ de 1 à », on trouve 
rt r~ S aP ^ aP)> •— S ^ < a S aP ■ 
p= 2 j)=0 
2 a 
Le théorème de Cauchy est prouvé. 
A l’aide des théorèmes des § 4 et § 5, on peut encore donner cette démon- 
stration simple: 
Suivant le théorème de Cauchy du § 4, la série et l’intégrale 
« r 
^ f(n) et J f(x) dx 
convergent et divergent en même temps. 
En vertu du théorème du § 5,' il en est de même pour la série et l’intégrale 
a n f(a n ) et Ja x f(a x )dx. 
Car on a 
q*+6/(q*+6) 
a*/(«*) — ' 
A l’aide de la substitution x = ai', l’intégrale 
f(x) dx 
devient 
log a f a x f{a x ) dx, 
d’où le théorème. 
Ce théorème élégant est susceptible de généralisations dans plusieurs directions. 
Eu considérant toujours des séries à termes positifs et décroissants, M. Gouwentak 1 , 
par exemple, a démontré que les séries 
a P n A a P n )i 'Yi ( a + H p-1 /((« + M p ) 
convergent et divergent en même temps. Et M. Kluyver 2 a immédiatement appro- 
fondi ce fait en démontrant que les séries 
1 JEene uiibreiding van een tiveetal convergentielcenmerJcen ( Nieuw Archief voor Wislcunde, 
‘2 e sér., t. 8, 1909, p. 370—372). 
2 JEene. uiibreiding van het convergentielcenmerlc van Cauchy (ibid., p. 373 — 374). 
