Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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/(") ' S ( a ”4 1 — a n)A«n ) . 
^ K — 0*-l) /K) - J] A /("") 
sont en même temps toutes convergentes ou toutes divergentes, a n désignant une 
suite d’entiers positifs et croissants, et A n désignant une suite de nombres positifs 
tels que les rapports 
restent, tous les deux, pour des valeurs suffisamment grandes de n, compris entre 
deux limites finies. 
Cette dernière série Y i A n f{a n ) nous donne, pour des nombres a n et A n con- 
venablement choisis, tant la série de Cauchy que les séries de M. Gouwentak et 
d’autres semblables. 
Mais plus profondes et plus importantes sont les généralisations que nous 
avons indiquées dans l’introduction. Nous les étudierons dans les paragraphes qui 
suivent immédiatement. 
§ 19. En observant que a x est essentiellement la dérivée de a x , le théorème 
de condensation se ramène à un changement de variables. En tenant compte de 
ce fait et en employant le théorème de Cauchy cité dans le § 4, on déduit immé- 
diatement ce théorème: 
Théorème. — - Soit f(x) une fonction positive et décroissante 
convergent et divergent en même temps, en vertu du théorème de Cauchy. Et il 
en est de même pour la série et l’intégrale 
A n +\ 
A n 
^ f{n) et J] /(?(»))'*'{») 
sont ou toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes. 
En effet, la série et l’intégrale 
30 °? 
^/(») 
CO 
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la dérivée <p'(x) étant, évidemment, positive. 
