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Thorild Dahlgren 
Donc, un changement de variables 
00 GO 
f f{x) dx — I <p'{x) dx 
entraîne le théorème. 
Certes, en raison de la condition concernant la dérivée f'(x), la portée de ce 
théorème n’est pas très grande. Si, par exemple, nous choisissons pour <p(x) des 
fonctions logarithmico-exponentielles, il faut borner le choix à des fonctions telles que 
x", 0<a<l; log r x, r=l,2, 3, ... 
et d’autres semblables. L’exponentielle e x ne satisfait pas à nos conditions et, par 
conséquent, le théorème ne renferme pas le théorème de condensation de Cauchy. 
§ 20. On peut remplacer la condition concernant <p' (x) par une autre moins 
restrictive. Et nous aurons le théorème suivant qui renferme comme cas particuliers 
non seulement le théorème précédent mais aussi le théorème de condensation de 
Cauchy. De plus, les généralisations de M. Goüwentak. et de M. Kluyver se 
ramènent à ce théorème. 
Théorème. — Soit f[x) une fonction positive et décroissante 
f(x) 0, x — > co ; 
soit ç(x) une fonction positive et croissante 
<ç(x) — > CO . x —>• CO , 
admettant une dérivée continue et positive cp’(x) satisfaisant à la condition quit y ait, 
correspondant à tout nombre positif 0, une constante positive c telle que 
f'(x -f 9) 
'p'N 
6 > 0 , 
Alors , les séries 
J/( w ) et 5j/('f(»)) <p'M 
convergent et divergent en même temps. 
La démonstration repose sur les théorèmes sur la relation entre séries et 
intégrales du § 4 et du § 5. Nous nous contentons de ces indications, la démonstration 
coïncidant presque mot pour mot avec celle du théorème précédent. 
Exemples. — En considérant encore les fonctions logarithmico-exponentielles, 
nous verrons qu’on peut choisir pour <p(x) les fonctions 
a x \ cc a , a arbitraire; log r æ, r— 1,2,3, ... 
et d’autres semblables. Par suite, les séries 
/(log.- «) 
n Ioüt «... log, 
convergent et divergent en même temps que la serie S/(«), f{%) étant une fonction 
positive et décroissante. 
