Sur le théorème de condensation de Cauchy 
51 
Corollaire. — Une conséquence à tirer de ce théorème et qui mérite d’être 
remarquée est l’observation d’AßEL 1 et de Cauchy 2 , retrouvée plus tard par M. 
Prxngsheim 3 , à savoir: 
La fonction f(x) étant positive et décroissante, la convergence de la série 
£/(?*) entraîue la relation 
X f{ x ) 1 — 0 , X I— > 00 . 
Si non seulement f{x) mais aussi la fonction xf(x) est une fonction décrois- 
sante, on peut appliquer le théorème encore une fois. Donc, la convergence de la 
série I]/(w) entraîne la convergence de .la série 
CO 
2 /K) ee" e», 
et, par conséquent, on a 
log x . x . f[x) — »■ 0 , x i — ► co . 
Plus généralement, si non seulement f{x) mais aussi la fonction 
|j|log r X . log r _ J x . . . log x . x . f(x) 
est une fonction décroissante, la convergence de la série !]/(«) entraîne la relation 
l°g f - + 1 æ ■ l°g,. x log a; . x .f[x)-+0, a? ^ co . 
Remarque. — A propos des théorèmes des §§ 18 — -20, il ne sera pas inutile 
de se rappeler les critères d’EiiMAKOFF 4 , valables pour les séries à termes positifs 
et décroissants, à savoir 
lim N)J > 1 divergence 
f [x) \ < 1 convergence, 
où la fonction œ (x) est supposée positive et croissante vers l’infini. 
Remarquons surtout le cas particulier 
lim e * divergence 
f(x) I < 1 convergence. 
§ 21 . Les théorèmes de condensation considérés jusqu’ici n’ont eu pour objet 
que des fonctions f{x) positives et décroissantes. Cette dernière condition, la décrois- 
sance de /(x), n’est pas une restriction essentielle. Car une série à termes positifs 
convergente est absolument convergente. Par suite, l’ordre des termes de la série 
n’a aucune influence sur la question de convergence ou de divergence de la série. 
On peut donc, en quelque façon, appliquer les théorèmes de condensation des para- 
graphes précédents à n’importe quelle série à termes positifs. Mais, en général, il 
1 Œuvres complètes, ncuv. éd., t. 1, Christiania, 1881, p. 399. 
2 Œuvres complètes, 2 e sér., t. 7, Paris, 1889, p. 277 — 278. 
3 Allgemeine Theorie der Divergenz und Gonvergenz von Reihen mit positiven Gliedern 
( Mathematische Annalen, t. 35, 1890, p. 297—391). Voir surtout p. 317, 356. 
4 Voir, par exemple, Bhomwich, An introduction to the theory of infinite series, London, 1908, 
p. 37—38. Voir aussi Pringsheim, loc. cit., p. 392—394. 
7 
