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Thorild Dahlgren 
faut se garder d’appliquer les théorèmes ’sans précautions. Avant de les employer, 
il est très souvent nécessaire d’arranger les termes de la série de sorte qu’ils forment 
une suite décroissante. 
Considérons, cependant, la série à termes positifs et décroissants 
Nous avons vu que, sous certaines conditions, la série converge et diverge en même 
temps que la série 
GO GO 
V F(n) = /(<p(n)) sp'(») . 
Evidemment, il en est de même pour les séries 
V f(n) =/(l) + f{2) + /( 3) + . . . + fin) + . . . 
et 
2 7'M = /( 1 ) 4 2/(2) + /(3) 4 2/(4) + ,..+/(*- 1) + 2f(n) + f[n + 1 ) + • • • , 
les termes de la série £/(w) étant positifs. De plus, les deux séries 
Y F (n) = m + ^(2) + F( 3) 4- ■ .4 F{n) + . . . 
et 
Yi /7 M = F( l) + 2F(2) + F( 3) 4- 2F(4) + . . + F(n - 1 ) + 2 F(n) + F(n + 1) + . . . 
convergent et divergent en même temps, si l’on a supposé la dérivée <p'(x) positive. 
Donc, les deux séries à termes positifs mais pas nécessairement constamment 
décroissants 
00 00 GO _ 
YjJ\ n ) et F[n) =-^/(f(w))©'(w) 
convergent et divergent en même temps, dans les conditions indiquées plus haut. 
En réalité, nous pouvons démontrer le théorème suivant: 
Théorème. — Soit f(æ) une fonction -positive et tendant vers zéro 
et admettons que 
/( x) i — 0 , x i — *■ co ■ 
fix 4 6) 
fl?) 
< 0 , 
0 < 0 < 1 , 
pour des valeurs suffisamment grandes de x, C étant une constante positive; 
soit <p(a?) une fonction positive et croissante 
f(x) i — *■ co , x >—> oc , 
et supposons qu’elle admette une dérivée continue et positive f'(x) telle que 
044 <o, 0 < 0 < 1 , 
tp (x) 
pour des valeurs suffisamment grandes de x, c étant encore une constante positive. 
