Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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Les séries 
OO 00 
et ■ 
convergeront et divergeront en même temps. 
A l’aide du théorème du § 5 sur la relation entre séries et intégrales, le théo- 
rème se démontre parfaitement comme celui du § 19, la démonstration se ramenant 
au même changement de variables. 
Exemple. — Considérons la fonction 
On trouve 
Par suite, la série 
. a 4- b cos x ^ 7 
A x ) = — — ~ , a>b. 
f{x + 8) + & 
f[x) ^ a-V 
y a + & cos ( e n ) 
est convergente pour a > 0 et divergente pour a<0. 
Corollaire. — Le corollaire du paragraphe précédent concernant les relations 
■ xf[x)<-+ 0, a?K->oo, etc. 
00 
s’étend maintenant aux séries convergentes S/W, où f(x) est une fonction positive 
et essentiellement décroissante h 
Remarque. — Une fonction f(x ) tendant vers zéro et jouissant de la propriété 
f(x + 6 ) 
/W 
o<e<i, 
c étant une constante positive et finie, s’appellerait bien essentiellement décroissante. 
Cf. la dénomination de M. Pkingsheim 2 »im wesentlichen monoton». 
L’oscillation des termes des séries de cette espèce est beaucoup plus faible que 
celle d’une série telle que S/W, où 8 
fin ) = , n non carré , 
v n 1 2 3 
1 Voir ci-dessous. 
3 Loc. cit., p. 357, 379. 
3 Cf. Nielsen, Lœrebog i elementar Funlctionstcori, Kobenhavn, 1909, p. 206. 
