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Thorild Dahlgren 
Ici on a 
f{nf 
Ån 9 - 1 ) 
J_V 
n 
c’est à dire c infini. 
Cette série convergente ne peut pas être condensée. Et on n’a pas non plus 
la relation 
nf(n ) *— *■ 0, n i — > co . 
§ 22. Nous ne nous arrêterons pas 'aux théorèmes de condensation qu’on 
pourrait établir, en tenant compte des théorèmes du § 6. Mais à l’aide du théo- 
rème de M. Hardy dans le § 7, nous pouvons donner un théorème de condensation 
très simple. Certes, il n’est qu’un cas particulier du théorème du paragraphe 
suivant; mais, en raison de sa simplicité, nous la traiterons séparément. 
Théorème. — Soit f{x) une fonction tendant vers zéro 
f(x) ► 0, x >— > cc , 
admettant une dérivée continue f'[x ) telle que l’intégrale 
00 
f\ (/' (x) I dx 
soit convergente. 
Soit f(x) une fonction tendant vers l’infini 
<ç{x) 00 . x »— »- 00 , 
et admettant des dérivées continues f'(x) et f"(x) de signes constants; soit ?'(x) bornée 
I <p'(x) I < const. 
Alors , les deux séries 
CC CO 
^./W et ^,/('f(n)) f'(n) 
convergent et divergent en même temps. 
En vertu du théorème de M. Hardy, la série et l’intégrale 
00 00 
^/(») et j f{x) dx 
convergent et divergent en même temps. Donc, le théorème se ramène à la trans- 
formation 
00 CO 
J /(«) dx = j/(<f(æ)) <p'(x) dx , 
pourvu que la série et l’intégrale 
CO 00 
V /(<p(w)) f'[n) et J /(tf(x)) cp'(x) dx 
