Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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soient convergentes et divergentes en même temps. Mais c’est précisément ce qu’on 
voit en appliquant le théorème de M. Hardy. En effet, 
^ (/(<?(«)) ?'(*)) =/'(?(»)) i\ x ) + /(?(*)) ?"(*)> 
fonctions qui sont absolument intégrables toutes les deux. Car on a 
00 - 00 CO 
f I /'(!£(*)) <p' 2 (a?) I dx < c f | /'(cc(x)) 'f'(x) | dx = c f | /'(*) | dx, 
qui est convergente, en vertu de l’hypothèse. 
Et on a de même 
00 cc 
f I /(<p(x)) <p"(x) I dx < c f [ <p"(x) I dx, 
intégrale qui est encore convergente, le signe de cp"(x) étant constant, et la fonction 
bornée <p'(x) tendant vers une limite finie, en vertu du même fait. 
On a donc le théorème énoncé. 
Exemples. — La fonction 
m = 
i 
x 1+h - (log ar)P + , 'ï ’ 
ß > o. 
satisfait aux conditions du théorème; et la série S f(n ) est convergente. Eu posant, 
par exemple, cç(x) — x log x, il s’ensuit que la série 
n 
^ (n - f- log n) l + ia (log (n + log 
est convergente pour ß > 0. 
La fonction 
0 < a <c 1 , b > 0, 
nous donne également, si l’on suppose b > a, un exemple de ce théorème. 
§ 23. Comme nous l’avons déjà indiqué, on peut encore donner un théorème 
de condensation, ou plutôt un théorème de transformation, qui s’applique à des 
cas plus étendus. C’est là le théorème important de M. Nörlund, qui supprime la 
condition par rapport à f(x ) qu’elle soit positive et décroissante, mais qui, au lieu 
de cela, introduit des conditions plus restrictives par rapport à <p(x). Ce théorème 
peut être appliqué non seulement à des fonctions positives mais aussi à des fonc- 
tions d’un caractère beaucoup plus général. 
En vertu du théorème de M. Littlewood, cité dans le § 9, nous donnerons 
au théorème de M. Nörlund la forme suivante: 
