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Thorild Dahlgren 
Théorème. — Soit f(x ) une fonction tendant vers zéro 
f[x) i— ► 0 , x > — ► co , 
et admettant une dérivée p iéme continue (p > 1), telle que l'intégrale 
00 
Jï ■/“(*) I àx 
soit convergente ; 
soit f(x) une fonction croissante 
f(x) <— >■ co , x —*■ co , 
admettant une dérivée continue de l'ordre p 1 ; soient les dérivées 
cfV)(x), i = 1, 2, 3, . . .,p + 1, 
de signes constants; et soient les dérivées f(x) et ^)(x) bornées 
I f(x) I < const., I fifx) I < const. 
Dans ces conditions, les deux séries 
CO 00 
T] An) et 5]/(<p(w))<p'K) 
sont , ew «îêwe temps, convergentes et divergentes. 
Remarquons que les suppositions relativement à f(x) sont précisément celles 
qu’exige le théorème du § 10 p. 24 pour affirmer la convergence et la divergence 
simultanées de la série et l’intégrale 
y] /O) et Cf(x)dx. 
La fonction <p(x) est constamment croissante, la dérivée c p'(x) étant de signe 
constant, c’est à dire positive. Donc, on a 
00 00 
f f{x) dx — C f('-f(x)) fix) dx, 
et de la démonstration, il ne reste qu’à établir la convergence et la divergence simul- 
tanées de la série et de l’intégrale 
CO 
2 /(?(»)) f '(») et 
CO 
f ?'( x ) dx 
La dérivée f(x) a, évidemment, une limite finie, la dérivée <p"(x) étant de signe 
constant. Il en est de même pour la dérivée f p \x). Eu vertu du théorème de 
M. Littlewood, il viendra donc 
f^(x) — > 0, x — co , i = 2, 3, . . . , p — 1 . 
Posons 
Afx)) f(x) = F{x). 
