Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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Donc 
F'[x) =f(cp(x)) + f (?(%)) 
et, généralement, 
- /%) ( t ') <+1 + £ <* fXt) WP WT ■ ■ ■ WT- + At) 
la somme 2 renfermant tous les termes à dérivées / (,) (<p(#)) des ordres inférieurs h i. 
On voit aisément que l’intégrale 
GO 
/ I F^Xx) I dx 
est convergente. Considérons le premier terme de F < ~ p \x). On a 
CO GO 00 
J I /%(*)) (<p'OOf +] \dx<c f \/ P) {*(%)) ? (x) dx = c j |/ p) [x) I dx • 
intégrale qui, par hypothèse, est convergente. 
Quant aux termes de la somme S, on a évidemment 
CD 00 
/ I /%)(?')’'■ - (éTl àx < c f \f\x)\dx, i> I, 
intégrale, qui est convergente, <pd)(æ) étant de signe constant et f (i ~‘\x) ayant une 
limite finie. 
De même, l’intégrale 
CD 00 
J I /(’f(æ)) ? (P+1) (■*) I dx<cj I <p (p+1) (o:) I dx 
est convergente. 
Le théorème est donc démontré. 
Exemples. — En vertu de ce théorème, on peut »condenser» des séries 
telles que 1 
00 Jn a 
0<a<l, 6>0. 
En posant <c(x) égale à 
x a , 0 <1 a <. 1 ; log } , x, r = 1, 2, 3, ... ; x log. x etc. , 
on obtient des séries telles que 
* é (l°g n ) a ® e iQÔg r n)" 
2-1 »(log n ) b ’ 2j n log n ... log \._jn (log r n) b 
' Habdy, loc. cit., Proceedings, etc., 2 e sér., t. 9, 1910, p. 128. 
