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Thorild Dahlgren 
” a» (n +108 *1)» 
L^ [n + log n) b 
ce i(n+îàg„H)a 
V r i 
Là (n + : - log n) b 
1 + 
n log n ... log,_ 
qui sont toutes convergentes pour a + 1 et divergentes pour a + b< 1. 
II. Séries doubles et multiples. 
§ 24. Jusqu’ici nous avons considéré des séries dont les. termes dépendent 
d’un seul indice. Nous allons maintenant considérer des séries à double entrée 
00 , 00 
T] /K n ) 
et des séries à entrée multiple. 
Pour les séries doubles et multiples, les choses sont plus compliquées que 
pour les séries simples. Malgré cela, nous pouvons donner une suite de théorèmes 
analogues au théorème de condensation de Cauchy et aux autres théorèmes de 
transformation établis dans la prémièrë section de ce chapitre. 
Soit donc f[x, y) une fonction positive et décroissante, aussi bien quand x croît 
que quand y croît, et soient a > 1, b^> 1. 
Une addition simple nous donne immédiatement les deux inégalités 
\E[aP) — ÆK- 1 )] [E{bf — Eih«- 1 )] f{E{u* ), E{¥)) < 
(f(E(aP-')+ 1, E(^- 1 ) + l)+ • • 
! 4- 
. +/(^H,^->) + i)| 
< 
( +7 (Æ(«?.- 1 )+ 1,^(6«)) + • • • 
+f(E(à?),E(n) 
< [E{a p ) - ^(ttP- 1 )] [ E(b ?) — E{b<i-')'\ f[E[a^) + 1, + 1), 
puisque les termes vont en décroissant. A l’aide des inégalités (31) et (32), on peut 
remplacer les deux limites par 
a? ü ~ 1 . b Q b ~ 1 f(a p , &?) et aP b* f{a?- x , Ifl- 1 ) 
Faisons la somme, en faisant varier p et q de 1 à l’infini, on trouve 
j cc.cc co. ce ce, co 
a ~ —rrj— ^ l,v ^ A aP > l ,q ) — Ap, q)<« b ^ up b* f{ap; b*) , 
p= 1, q = 1 P= 2, q = 2 p=ü, f/=0 . . 
d’où l’énoncé suivant: 
Théorème. — Soit une série à termes positifs et décroissants, tant pour m 
croissant que pour n croissant , 
oc, co . 
^ f(m, n) ; 
