Sur le théorème de condensation de Cauchy 
59 
elle converge et diverge en meme temps que la série 
ûc, ce 
V a m b n f(a m , b n ), 
si l’on a 
a > 1, /; > 1 . 
Le mode de démonstration étant tout à fait général, on peut aisément démontrer 
un théorème analogue pour les séries multiples à termes positifs et décroissants. 
En tenant compte- des théorèmes des §§ 11 — 12, nous donnerons une autre 
démonstration simple du théorème ci-dessus. 
En effet, la série et l’intégrale doubles 
QO, 00 00 00 
^ f(m, n) et f f f(x , y) dx dy 
convergent et divergent en même temps, suivant le théorème du § 11. En vertu 
du théorème du § 12, il en est de même pour la série et l’intégrale 
00,00 ff 
^ a m b n f(a m , b 11 ) et j j cfb y f(a x , b v ) dx dy . 
Donc, la transformation 
00 00 00 00 
j j À x > y) dx dy — log a log b j j f(a æ , h 1 ') a b y dx dy 
entraîne le théorème.. 
§ 25 . L’application des théorèmes établis dans le chapitre précédent va nous 
douner plusieurs analogies et généralisations du théorème de condensation de Cauchy 
pour des séries doubles et multiples. En voici la première: 
Théorème. — Soit f[x, y) une fonction positive et décroissante , tant pour x crois- 
sant que pour y croissant 
f(x, 0, x 1 — *■ co ou y — ► oo ; 
soient f(x) et b{x) deux fondions positives et croissantes 
<f(x) —*■ oo , x > oo , et ty(x) co , x -*■ co , 
admettant des dérivées décroissantes du premier ordre <p'(x) et 
Dans ces conditions , les deux séries à double entrée 
00 , 00 CO, 00 
y] f(m, n) et f{<?(m), «K»)) f\m) 
.sont, en même temps, convergentes et divergentes. 
A l’aide du théorème de Cauchy du § 11, on voit que la série et l’intégrale 
00 00 
CO, CO ç ~ 
y] /O, li) et j j fx,y)dxdy 
convergent et divergent simultanément. 
8 
