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Thorild Dahlgren 
En vertu des propriétés des fonctions f(x) et <Jj(æ), il en est de même pour 
00 00 
co, oo r r \ 
V /(<p(m), <K*0) ?'(»*) <K(4 et JJ /[& W) ?( x ) dx dy . 
Ajoutons que 
00 00 GO GO 
f jf{% V) clx dy == J J /(<p(5p), <Ky)) tp'(æ) f(y) dx dy . 
On aura donc le théorème. 
Ce théorème s’étend immédiatement à des séries multiples à termes positifs 
et décroissants. 
§ 26. Plus généralement, considérons deux fonctions <p(æ) et ty[x) ayant les 
propriétés suivantes : 
Soient <p(x) et ty(x) des fonctions positives et croissantes 
<p(æ) >—> oo et (J)(a;) > co , ai — oo , 
admettant des dérivées continues et positives <p'(x) et t[>'(a?) ; et supposons qu’à tout 
nombre positiv 6 correspond une constante positive c telle qu’on a . 
f^+Â<c, iA+i><c, e > o. 
? (x) <]J (x) 
Quant à la fonction f(x, y), elle doit satisfaire aux conditions du théorème 
précédent. 
Dans ce cas, en vertu du théorème du § 12, la série et l’intégrale doubles 
00 , 00 - - 00 00 
V /(<p(m), <1>00) ÿ'( mi ) et / / JÄI <f%) V(y) dx dy 
restent encore convergentes et divergentes en même, temps. 
En achevant la démonstration de la même manière que dans le théorème 
précédent, on aura le théorème: 
Théorème. — Soit f[x, y) une fonction positive et croissante; tant pour x croissant 
que pour y croissant 
f(c c, y) ► 0 , x • — ► go ou y >-> co ; 
soient <p(æ) et é(æ) des fonctions positives et croissantes 
cp(x) *-+■ co , x i— > oo , et ty(x) i— ► co , x H- ► co , 
admettant des dérivées continues et positives r f'(x) et f(x) telles que 
f'(x + 9) 
< c, 
f'(x) 
c étant une constante positive. 
Dans ces conditions , les séries 
+ e ) . . 
e > o, 
G C, CO 
V f(m, n) ; et 
00, cc 
2 /(tp(m), tK«)| f'(m) f(n) 
sont ou convergentes toutes les deux ou divergentes toutes les deux. 
