Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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On pourrait encore, d’une manière tout à fait générale, considérer des séries 
à entrée j?"P le . On démontrerait sans difficulté le théorème analogue. 
Lès deux théorèmes des §§ 24 — 25 sont des cas particuliers de ce théorème. 
Entre autres cas particuliers, remarquons les analogies des théorèmes de M. Gouwen- 
tak et de M. Kluyver. Le théorème de M. Kluyver se présente sous la forme 
suivante: 
Soit f{x,y) une fonction positive et décroissante pour- x croissant et pour y 
croissant; soient a m et b n deux suites d’entiers positifs et croissants; soit A m>n une 
suite double de nombres positifs telle que les rapports 
K»+ 1 — ° J ( b n+l — K) A m+ 1, n 
A m,n ’ A m, n 
A ni, n + 1 
restent entre des limites finies, pour- des valeurs suffisamment grandes de m et 
de n. Alors les deux séries doubles 
OC, 00 00, CO 
V/( W)W ) et Yi A ^nfKnK) 
convergeront et divergeront en même temps. 
Corollaire. — En vertu du théorème de ce paragraphe, on arrive aisément 
à des relations analogues à celles d’AßEL et de M. Pringsheim. 
En effet, si la fonction fix, y) est positive et décroissante pour x croissant 
ainsi que pour y croissant, et si la série double £ /(»?, n) est convergente, ou a 
toujours la limite 
x y fix, y) > 0, x — ► co ou y*— > oo . 
Et, généralement, si non seulement fix, y) mais aussi la fonction 
f{x, y) . x log x . . . \og r x . y log y . . . log^ 
est décroissante pour x croissant ainsi que pour y croissant, la convergence de la 
série double £/(»*, n) entraîne la relation 
/(*, y) -x\ 0 gx ... log r+1 x . y log y . . . log 8+1 y >-► 0 
pour x i— > go ainsi que pour y t— »- oo . 
§ 27. Nous donnerons encore l’énoncé analogue du théorème du § 21 des 
séries simples. 
Théorème. — Soit f(x, y) une fonction positive qui décroît indéfiniment pour 
x h-> co ainsi que pour y *— > co 
et admettons que 
/(*, y) — ► °» 
f{x ~t~ 6u y 4- 9 2 
/(*. y) 
= 1 , 2 , 
c étant une constante positive finie ; 
