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Thorild Dahlgren 
soient 'i(x) et '- \{x) des fonctions positives et croissantes 
<p(æ) co , x * — ► co , et ^(x) h- > oo , x i— »■ co , 
admettant des dérivées continues et positives f(x) et f(x) telles que les rapports 
+ 9) y (x + 6) 
?'(*) W) 
o < e < î, 
restent inférieurs à des constantes positives finies. 
Dans ces conditions, les séries doubles 
GO, GO OC, OO 
V /(w, n) et ^ /(œ(m), ty(ri)) f{n) 
convergent et divergent en même temps. 
Comme auparavant, la démonstration se ramène à un changement de variables 
OO OO 00 co 
j j/(æ, y) dxdy = I f/(<p(æ), 'K«/)) $'(®) f (y) dx dy, 
la première série étant convergente et divergente en même temps que l’intégrale 
00 00 
J J f( x > y) dx dy, 
et la série transformée étant convergente et divergente en même temps que l’in- 
tégrale du second membre, en appliquant le théorème du § 12. 
Corollaire. — Les conclusions du paragraphe précédent quant aux fonctions 
x y f(x, y) etc. 
restent encore valables pour les fonctions _f(x,ÿ) qne nous venons de considérer. 
Remarque. — Si, pour x croissant vers l’infini ainsi que pour y augmentant 
indéfiniment, on a 
lim <p’{x) f (y)/(y(s), <Ky)) < 1 
y) 
f(x) et ty(x) étant des fonctions positives et croissantes, les séries doubles 
( 30 , 00 00 , 00 
y 1 f(m, n) et . ^ /(cc(m), ({>(%)) c p'(m) à'(n) 
sont convergentes, tandis qu’elles sont divergentes dans le cas contraire. 
En particulier, la relation 
lim 
e x+y f(e x , e y ) 
/(•*. y) 
< 1, 
pour x —*■ oo et pour y — >- oo , 
entraîne la convergence de la série double £/(w, m), tandis que la série diverge 
dans le cas contraire, et cette règle sera d’une application facile. 
Cette extension des critères d’EïtMAKOFF se démontre sans difficulté. 
La généralisation du théorème de ce paragraphe à des séries multiples se fait 
d’elle même. 
