Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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§ 28. Maintenant, nous supprimons les conditions, par rapport à la fonction 
f(x, y), qu’elle soit positive et qu’elle décroisse, lorsque x ou y croissent. A l’aide 
des théorèmes des derniers paragraphes du chapitre précédent, nous allons rechercher 
les- conditions pour que les séries doubles 
oc, oo ce, cd 
et ^ /(œ(w), œ'(m) 
convergent et divergent en même temps. 
Dans le cas général, c’est à dire le cas correspondant au théorème du § 14, 
les recherches deviennent très compliquées et les résultats obtenus nous semblent 
d’assez peu d’utilité. Voilà pourquoi nous nous bornerons à l’étude de quelques 
cas spéciaux. 
En tenant compte du théorème du § 13, nous démontrerons d’abord ce théorème: 
Théorème. — Soit f[x, y) une fonction tendant vers zéro pour x et pour y 
grandissant indéfiniment 
j[x, y) — > 0, x — ► co ou y — >■ co , 
et admettant des dérivées continues et absolument intégrables ( intégrations doubles) 
*1 *1 ef J*L. 
dx ’ dy dxdy 
soient <p(æ) et §(x) des fonctions tendant vers V infini 
c p(x ) — co , x — *■ go , et — ► co , x —*■ co , 
et admettant des dérivées continues f'(x) et f"(x), resp. f{x) et <|/'(æ), de signes constants ; 
soient f(x) et (Jj ( x ) bornées 
I f'(x) I < const., I <j/(ce) I < const. 
Alors, les séries doubles 
00, CO OO. 00 
V /( W) ri) et Y /(<p(m), $(»)) ÿ[m) f (w) 
convergent et divergent en même temps. 
Comme auparavant, la démonstration se ramène à un changement de variables 
CO 00 00^.00 
J y) dxdy == j J <j >(y)) f'[x) f{y) dx dy . 
On a donc à démontrer que la série et l’intégrale 
00,00 » 00 
Y /( t pN> <K m )) ?’H f (»). et J *Ky)) ?'(*) V(v) dx d v 
convergent et divergent en même temps, la série et l’intégrale 
V f[m, n) et JJ f[x, y) dx dy 
satisfaisant à cette condition, en vertu du théorème du § 13. 
