64 
Thorild Dahlgren 
Posons 
|%(4 'IM *'(4 f(ÿ) = F(a;, y). 
On a donc 
8 a F 
dxdy 
7 ^ = ?'*(*) f (y) +/(?. «M ?"(*) '1 >'{yh 
= ^ 4>'»(y) -f /(», <|>) <p'(z) f'fet) , 
8 2 y(y, <10 
8 r f 8^ 
'f' 2 (z) f 2 (*/) + 
8 / 1 ?, » 1 ») 
8® 
89 
La dérivée f'[x) a évidemment une limite finie, le signe de la dérivée <p"{x) 
étant constant et <p'(x) étant bornée. Et il en est de même pour la dérivée <!/( y ). 
Par suite, les intégrales 
sont absolument convergentes. 
Les intégrales 
00 CO 
fp tdxdy et ff-^-dacdy 
J J dy J J J dxdy 
étant supposées absolument intégrables, on voit aisément qu’il en est de même pour 
les intégrales 
CO CO 
00 00 
I I — dx dy et 
J J dy 
CCd s F 
j J dxdy 
dx dy , 
et le théorème est prouvé. 
Exemple. — En se rappelant l’exemple du § 13 (p. 29), on voit que la con- 
vergence de la série double 
J (m a + n a ) 
> 0 < a < 1, b >> a -f- 1 et 6 > 2(1 — a), 
^ m b + n 
entraîne, par exemple, celle de la série 
À (to + log to) -| -n 2 log n ) 
(m -)- log my -(- n 2 log b n 
2 + log n 
2 ]/ n 
§ 29. On rencontre souvent des séries doubles ayant la forme 
CO, 00 
'S\ f(am bn -{- c) . 
