Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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Dans ce paragraphe, nous transformerons une série de cette espèce, en remplaçant 
m et n par <p(m) et <J >(n) et en multipliant le ternie général par les dérivées f'(tn) et 
<j >'(n). Voici ce théorème: 
Théorème. — Soit f(z) une fonction tendant vers zéro 
/(*)-► 0 , z co , 
et admettant une dérivée continue de l'ordre m x -\-m 2 (m, m 2 4 2), et soient les 
intégrales 
00 00 CO 
/ /(*) dz et JJ I A‘" +m % + t 2 ) I df dt. 
convergentes ; 
soient f a (z), a =1,2, des fonctions croissantes 
admettant des dérivées continues de l'ordre m a 4 1 ; soient les dérivées 
<p a (%), i= 1, 2, 3, .... m a 4- 1, 
de signes constants; et soient les dérivées d'ordres 1 et m u bornées 
I ?«V) I < const. y I I < const. 
Alors les deux séries doubles 
OD> 00 00» CO 
V/(,X + VjWj + v„»,) et- £/(fc 4 ?! (V t ) w, 4 ? 2 0 2 ) (0 2 ) Ti'Ch) ? 2 '( v 2 ) 
convergent et divergent en même temps. 
L’hypothèse par rapport à la fonction f(s) est précisément celle du théorème 
du § 16. Par suite, la série et l’intégrale doubles 
ce, oo 00 qp 
+ V l“l 4" V 2 W 2 ) I I A X + h + Q dt 1 dfg 
sont, en même temps, convergentes et divergentes. 
Quant h la fonction f a (z), nous avons supposé qu’elle tend vers l’infini, si 
l’on fait croitre z à l’infini. Or, le signe de f' a (z) étant constant, la dérivée f' a (z) 
est toujours positive. Donc, la fonction <p a (z) croit constamment vers l’infini. 
Quant à la dérivée f' K (z), elle tend vers une limite. Car, par hypothèse, 
toutes les dérivées sont de signes constants, d’où il s’ensuit qu’elles croissent ou 
décroissent constamment. Et f a (z) étant supposée bornée, elle tendra vers une limite 
déterminée positive. 
11 suffit alors de poser 
= frAJ i oi=l,2, 
pour établir l’égalité 
CO 00 CCCO 
JJ/Î> + Q + t 2 ) dt x dt 2 = f j f(x 4 C P4,) 4 fftf) y/if) <p 2 '(g df dt 2 . 
