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Thorild Dahlgren 
Il nous reste à étudier la relation entre la série et l’intégrale doubles 
CC.QO QO 00 
S Ä* + <PlK) ®1 + fi KK) <Pl'( V l) fM et f f Å* + ?! (M + <P 2 (^ 2 )) fl ( f l) fiVi) dt l df i 
Dès que nous aurons démontré qu’elles convergent et divergent en même 
temps, la démonstration de notre théorème sera achevée. 
Posons, pour abréger, 
f(x + + ?,(/,)) fl (h) fM = F (h > *.) ■ 
F(t lt t 2 ) doit donc satisfaire aux conditions du théorème du § 14. 
A cet effet, formons les dérivées partielles de F(t t -, t 2 ). En se rappelant la 
structure de./, on a 
df = df_ _ df_ = f, 
dx 0<p t df 2 J 
ce qui simplifie essentiellement les formules. 
Donc, 
fW + /?,"; 
4 ~ =/>,')* + 3 />,>,'• + fv' 
fi ° h 
1 rl’iF ■ \ n +1 \ a (>•) r, r 2 ri _li 
(33) -T ô — =Mfi') + 2 j */ W) («P/ ) — W*'* +1) ) 1 > 
fi 8 V (T) 
S renfermant tous les termes à dérivées des ordres inférieurs à q . En géné- 
ral, la dérivée partielle de l’ordre q -f- i 2 devient 
(34) 
+ F 
dt/ 1 g t a f * 
= f(i l + >\)^i'ÿ 1 +^f 2 'y i +y 
- + S c r / ; '' + ,V! (<PiT 1 fe'T 2 ••• (<P 1 (/l + 1) / V,+1 (<P 2 ') /2+I 
(1-> 
+ -Jcrf / ,1 + s) (iPx ')' 1 + I (? 2 '] Sl (fa "P ••• (<p ^' 2+l) ) S '' 2+1 
(s) 
+ 2 c r, s / r + s) (fl ) 1 ' 1 ••• (?1 (, ' 1 + 1 )’ V,+I (ftT 1 ••• (?2 (/2 + 1) ) R?2+1 , 
(r, s) 
où X renferme tous les termes à. dérivées partielles de l’ordre i 2 par rapport à / 2 
(r) 
et d’ordre inférieur à q par rapport à / ; S a, mutatis mutandis , une signification 
W 
analogue; et 2 renferme tous les termes à dérivées partielles des ordres inférieurs 
. (ns) 
aussi bien à q par rapport à / qu’à i 2 par rapport à t 2 . 
