Sur le théorème de condensation de Cauchy 
67 
Cela posé, on voit sans difficulté que la fonction F(t t , t 2 ) satisfait aux condi- 
tions du théorème du § 14. De son mode de formation et des hypothèses 
f(z) i — *■ 0, z ► cc , et I f'gfo) I < const., 
il suit d’abord 
F{t t , t 2 ) >-> 0, ou t 2 1 — ► co . 
Le théorème exige que l’intégrale 
f F{t lt t a )df a , a =1,2, 
soit convergente. Mais cette intégrale n’est qu’une transformation de l’intégrale 
00 
J/(æ + h + t»)dt a , 
qui est, par hypothèse, convergente. 
Il faut encore, démontrer que l’intégrale 
00 CC 
J J dt t m i 
dt t dt 2 
est absolument convergente. La formule (34) nous donne l’expression de la dérivée 
partielle de l’ordre m x -f m 2 . Du premier terme de ce développement vient une 
intégrale absolument convergente, puisque 
J j ! (^)’)( < Pi') Wil+J {^T^dt^dt^C j j |/( Wi 1 + " , 5 '(*+'Fi+- t P 2 ) ( Pi ,( P 2 ' I dt i dt 2 ; 
et l’on a supposé 
f f + + Q dt x dt 2 
absolument convergente. 
Considérons les intégrales dérivant de la somme double 2 de la formule (34) 
O-.*) 
00 CC 
l/ (r+f %i')'’i ••• (tp 1 ^ Wl+1>; ) , ’’" 1+1 (? 2 / ) Sl (?2 j dt t dt 2 
r = 0, 1, ..., m 1 — 1; s = 0, 1, m 2 — 1 . 
En observant qu’au moins un des nombres r 2 , r 3 , r m ^_ 1 resp. s 2 , s 3 , .... s W2+1 est 
plus grand que zéro, on obtient, pour cette intégrale, une intégrale majorante 
CC 00 
2 < pi < m 1 -j- 1 
2 < v < m 2 -f 1 ’ 
qui converge, puisque' les dérivées \z) sont de signes constants et les dérivées 
'Pa -1 V) tendent vers zéro pour z -*-ao . Ce dernier fait est une conséquence 
9 
