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Thorild Dahlgren 
du théorème de M. Littlewood, les fonctions <p' n (z) et ^ a \s) admettant des limites. 
Quant aux intégrales dérivant des sommes simples £ et £ de la formule (34), 
()•) (s) 
on constate de même, sans difficulté, qu’elles sont absolument convergentes. 
Exemple. — La fonction 
/(*) = - 
nous donne les séries doubles 
0 < a 1 , 6 > 0. 
00 , 00 
X ^ ßz(m-\-7i) a 
(m + n) h ’ 
1 + 
log m ... log r 
1 + 
gi(m + log,, m + n + log s n)“ 
n log n ... log s _i n ){m log r m -f- n -f- log s 
convergentes pour a b ^> 1, divergentes pour a -f- b < 1. 
On peut donner un théorème de transformation analogue pour des séries 
multiples. 
§ 30. Pour l’application tant de ce théorème que du théorème des para- 
graphes précédents, il n’est pas sans importance d’indiquer des fonctions présentant 
les propriétés que nous avons attribuées aux fonctions <p a (^), La fonction exponentielle 
a déjà été introduite dans le théorème de condensation de Cauchy. La fonction 
inverse, le logarithme, admet évidemment, les propriétés en question. Nous pouvons, 
en effet, indiquer toute une classe de fonctions élémentaires satisfaisant à la condi- 
tion concernant les signes des dérivées, à savoir les fonctions logarithmico-exponenti elles. 
Ces fonctions, on les obtient par un nombre limité d’opérations algébriques 
ordinaires combiné avec un nombre limité d’opérations logarithmiques et exponentielles. 
Une de leurs propriétés fondamentales, c’est qu’elles sont, pour s > z 0 , de signes 
constants. Les dérivées d’une fonction logarithmico-exponentielle étant encore des 
fonctions logaritbmico-exponentielles, elles sont également de signes constants. 
Quant aux signes des dérivées, on peut dire encore quelques mots. M. Hardy 1 
a défini le type t{z) d’une fonction f(z) comme le rapport 
WM 
~/(*) 
Et il a remarqué 2 , en outre, que, f{z) étant une fonction positive et croissante, toutes 
les dérivées sont, pour z > z 0 , positives si le type est 
m>- 
1 Orders of infinity, Cambridge, 1910, p. 38—39. 
2 Loc. cit., p. 41. 
