Bemerkungen zur Bestimmung numerischer Aperturen etc. 407 
Ausdruck . sin V verstehen, wogegen „Apertur“ schlechthin den 
mit der Schnittlage veränderlichen Wert U x = (i.sinV x bedeuten 
soll, worin \\ der zufällige Winkel einer optischen Achse gegen 
die Schliffnormale ist. Bezeichnen wir ferner — immer nur für 
die Fälle unter 2. — die beobachteten Aperturen zweier optischen 
Achsen mit U, und l T 2 , den Winkel zwischen Schliffnormale und 
Bisektrix mit x und fassen letzteren als unabhängige Variable auf, 
so können wir -^-y— als Funktion von x ausdriicken : 
1) y = U| ^ ,IJ ‘ t = * [sin (V— x) + sin (V + x)]. 
Für x = 0 erreicht y seine maximale Größe von ß . sin V, 
während beiläufig der von den in Luft austretenden optischen 
Achsen eingeschlossene Winkel hier am kleinsten, nämlich gleich 
2E ist. Für x = V wird y= f .sin(2V). Weiterhin wird U, 
wie sin (V — x) negativ, und y entfernt sich immer weiter von 
ß . sin V. Über die Höhe des Unterschiedes ß . sin V — L| ^ U ' 
an einer Reihe von Beispielen gibt Kolonne 1 1 der folgenden 
Tabelle Aufschluß. 
Um nun aus den Beobachtungswerten Uj und U 2 die wirkliche 
Größe von /J.sinV abzuleiten, müßte ß bekannt sein; ja, man 
könnte dann den Achsenwinkel selber erhalten, weil gilt: 
2) ai c sin -4- arc sin = 2 V. 
fr 
ß ist nun nicht bekannt, läßt sich aber für Mineralien mit 
^<1,8 mit einer Unsicherheit < + 0,1 schätzen. Der so er- 
haltene, roh angenäherte Wert sei ß', und der damit aus den 
beobachteten U, und U 2 nach der Gleichung 2 errechnete halbe 
Achsenwinkel sei V'. Letzterem haftet, wie ein Vergleich der 
Kolonnen 2 und 15 unserer Tabelle zeigt, eine erhebliche Un- 
genauigkeit au. 
Bildet man aber das Produkt /S'.sinV', so wird der 
schädliche Einfluß des fehlerhaften ß J z. T. aufgehoben. 
Kolonne 17 der Tabelle zeigt den Vorteil des Arbeitens mit dem 
Produkt ß' . sin V'. Bildet man die Differenzen sinV — sinV', so 
zeigt sich zwar, daß einige von ihnen etwas kleiner sind als die 
entsprechenden Unterschiede ß . sinV — ß‘ . sinV', prozentual gegen- 
über den sinV-Werten sind erstere aber dennoch größer als letztere 
gegenüber den größeren ß . sin V- Werten. 
Das immer aus einem geschätzten ß‘ und den beobachteten 
Uj und U 2 ableitbare Produkt ß‘ . sinV' zeigt größere Unterschiede 
gegenüber ß . sinV nur bei großer Schiefe der Bisektrix gegen die 
Schliffnormale und bei entsprechend großem Austrittswinkel einer 
der optischen Achsen. Bei fehlender Kenntnis von ß wird man 
demnach Fälle, in denen Aperturen > 1,45 beobachtet werden, nur 
