3 
Rovnice (7) čili 
n — 1 
(7*) / (X) = 5] A (2) <jP. {X, z) + Rn 
v= o 
podává rozvoj funkce / [x] podle funkcí (p^ {x, z). 
Poněvadž funkce /„ (z) — jak ze zákona (4) vysvitá — předpokládá 
existenci derivací f {z), f" {z), . . . /<") {z), musí funkce / (-z) míti tyto 
derivace vesměs konečný a spojitý. 
Jiné vyjádření zbytku vychází z (6), píšeme-li | za 2 a íntegruje- 
me-li v mezích x ^ z: 
Z 
(9) / (v) — Sn {z) =r /„ (^) 1 (I) ^'n -1 {X, I) d 
.r 
Tyto úvahy přenášejí se bezprostředné do oboru funkcí komplexní 
proměnné, pouze s tím rozdílem, že na místo rovnice (8) nastoupí jiné 
ocenění zbytku, jež snadno se odvodí z identity (9). 
Jako první příklad uvažujme případ, kdy veškery základní funkce 
xpv {z) Splývají s číslem 1. Funkce (2) pak budou 
/ ^ I ^ — {^ — xY 
[X, z) = z v, qp.2 [X, z) = ^ ^ , 93 [X, z) = 
3! 
. . (pv {X, z) = 
{z — xY 
Vl 
a funkce (4) budou 
/, (z) =-/' [z), u (^) = r i^), h (^) = - r Y), . . . 
U {z) =(- iYř'’Hz); 
řada (5) pak bude po dosazení těchto hodnot zníti 
n — 1 
0 
(^) 
[x — zY, 
takže nám v tomto případě rovnice (7) podává řadu Taylorovu se zbytkem 
ve tvaru 
{x — 2 ) {x — zP)"~^ 
Rn = /<") (^i) 
(w — 1)! 
Definice funkcí qp„ {x, z) je dána rekurrentním vztahem 
(3*) 9 „+i {x, z) -- J {x, I) (J) d i. 
XXXVI. 
1* 
