2 
Dále plyne z trojúhelníku 5,5 5* 
Cik^ = Si 5*2 = (r — Zí) 2 -f (r — y*) 2 — 2 (y — n) (r — y*) cos g),* = 
= {>'1 — rkf + 4 (y — n) (y — y*) szn^ . 
Při tom zavecTme si pojem konlí orientovaných, které můžeme 
nazvati sférami. Když totiž zavedeme určitý smysl rotační kolem přímky 
za kladný a opačný za záporný dle známé definice, a orientujeme každou 
normálu koule tak, aby od paty její na př. ve směru neobsahujícím 
střed koule byla kladnou, ve směru k středu směřujícím zápornou, pak 
smysl na kouli odpovídající kladnému smyslu otáčení orientuje kouli 
jakožto sféru kladnou, opačný smysl pak stanoví sféru zápornou. Poloměr 
kladné sféry béřeme kladně, poloměr záporné bérem záporně, takže poslední 
rovnice platí obecně, jak pro vnější tak pro vnitřní dotyk dvou koulí. 
Klademe-li 
tik’" = Cj*“ — (y, — 7'-*)2, (3) 
značíce Uk délku společných tečen pro dané sféry K;, K*, ať již jest Uk^ kladné 
neb záporné, bude se zřetelem na hodnotu pro Cik^ právé vypočítanou 
sm 
2 
tii^ 
4 (y 
f'k) 
( 4 ) 
Dosadíme-li tyto hodnoty do determinantu (2) dospějeme, násobíce 
řt řáuek 4 (y — y,-), sloupec [r — ;'*), k relaci 
0, 
t'13" ’ 
0, 
t-iz", 
t-ií ! 
t'25~ 
0, 
hi > 
t-35" 
^42^ 
hs“> 
0, 
tib" 
t-^\ 
^ 52 '' > 
t-J, 
t-J. 
0 
( 5 ) 
Je-li &ik úhel, v němž se dvě sféry protínají, obdržíme snadno relaci 
sin'- 
fik- 
4 i'i i'k 
a pro úhly, pod nimiž se pět sfér dotýkajících se téže koule protíná, 
obdržíme z (5) relaci: 
0, 
sin^ 
®12 
sin'^ 
@13 
sin'’- 
@i4 
sin- 
2 ’ 
2 ’ 
2 ’ 
O 
sin- 
0, 
sin- 
@23 
sin- 
'^24 
sin- 
@^ 
2 ’ 
2 ’ 
2 ’ 
2 
sin- 
sin- 
®32 
0, 
sin- 
@34 
sin- 
@35 
2 ’ 
2 ’ 
2 ’ 
2 
sin'^ 
^41 
sin'^ 
@42 
sin- 
O, 
sin- 
@« 
2 ’ 
2 ’ 
2 ’ 
2 
sin- 
’ 
sin- 
@52 
9 ’ 
sin- 
@53 
2 ’ 
sin'^ 
@54 
2 ’ 
0 
IX. 
