7 
ve středu 5 '„ kružnice k'^. Označme kružnici opsanou troj úhelniku 
Kružnice ... tvoři svazek kružnic a společné tětivy jejich s kružnicí v 
tvoří svazek přímek k němu promětný. Vrchol V toho svazku leží na Z] 
jest to pól roviny R vzhledem ke kouli Q, neboť společná tětiva kružnic q 
a v též svazku tomu náleží. Polára g bodu V vzhledem ku v jest proto 
přímka rovnoběžně ku r bodem 0 vedena. Seče tudíž kolmice s bodu L 
na společnou tětivu kružnic v, přímku g v bodě náležejícím kružnici 
a přímka Go, N jest tečnou ku v a protíná tudíž v bodě S„. 
Z úvahy této plyne tudíž následující konstrukce kružnice 
,, Sestrojíme nejprv bod 5 a jednu tečnu bodem tím ku v, která protne g 
v bodě Gq kružnice Wq; pak jest úhel 0 G^ L roven bud nebo n — ■ Po- 
třebujeme tudíž jen sestrojili na g úsečku 0 = 0 Gq . ros oj, načež jest 
0 G„ L roven resp. tc — ip, takže G<o náleží kružnici a proto tečny 
ku v bodem G.^ vedené protnou 2: v bodech S„, SV-“ 
Shledáváme opět, že S„, S'„ tvoří pár involuce na z o dvojných 
elementech O a F. V každém případě tudíž involuce S'^, ... se promítá 
z bodu paprskovou involucí, jejíž dvojné elementy jsou G a spojnice 
bodu Sy s polem V roviny R vzhledem ku Q; jsou tedy na př. přímky S;^ S, 
S' harmonicky odděleny přímkami 5 ^ O, V. Toho můžeme při kon- 
strukci ploch kulových dotykových K, K' rovněž použiti. 
8. Rovina potenční P^ koulí Q a Kj jest polárou bodu O vzhledem 
ku kouli Kj^; přímka seče ji v bodě P^, který jest od O oddělen harmo- 
nicky body dotyku 17 ^, U\, v nichž ýj seče K^. Z toho plyne, že přímka 
V seče rovinu Pj^ v bodě náležejícím přímce p^. Sestrojíme tedy ýj 
též tak, že sestrojíme průsečnou přímku roviny P^ s R a s bodu 
spustíme kolmici na rovinu O která protne Pj^ v bodě Pj přímky 
hledané p-^. Neboť roviny tečné přímkou ku jsou harmonicky od- 
děleny od rovin O a P^. 
Budtež P2, P3, P4 analogické body přímek p^, p^. Body Pí tvoří 
čtyřstěn perspektivný k čtyřstěnu Sj pro pól V roviny R vzhledem 
ku O jakožto střed perspektivity. Rovina perspektivity jest rovina R sama. 
Neboť na př. spojnice bodů dotyku U^, U2 koule K prochází středem po- 
dobnosti S12 sfér Kj, K2, rovněž jako spojnice bodii dotyku U\, U.^ koule K'. 
Obě dvě přímky U-^ U^, U\ U\ leží v rovině p^ p.^p, přímka k nim s přímkou 
Sj2 O harmonická seče p^^ v bodě P^ sO harmonickým k U^, U\ a p.^ v bodě P^ 
s 0 harmonickým ku U^, U\\ prochází tedy přímka Pj Pg bodem z čeho.ž 
jest patrno, že příslušné si hrany čtyřstěnů 5 ^ Sg S3 S4, Py Po P3 P4 se pro- 
tínají v rovině R. 
Když tedy sestrojíme poláry bodu O vzhledem ke kružnicím, 
v nichž roviny Si z sekou Kf, pak transversála bodem S^i ku přímkám «*, Ui 
protíná tyto v bodech P*, Pj. 
Obecněji jest patrno, je-li Py libovolný bod přímky py a sestroj íme-li 
k čtyřstěnu S4 Sg S3 5 ^ perspektivný čtyřstěn P4P2P3P4, pro R jakožto 
rovinu a pro průsečík V přímky SyPy se z jakožto střed perspektivity. 
XII. 
