8 
Že přímky p.^, p^, p^ obsahují vrcholy P^, P^, P^. Přímka p^ obsahuje pól 
roviny R vzhledem ku K^; stotožníme-li tedy Pj s pólem tím, pak jest V 
v nekonečnu a Pg, Pg, P4 jsou póly roviny R vzhledem k ostatním koulím 
Kj, jak to konstrukce Gergonne’ova vyjadřuje. 
Zajímavý jest specielní případ, kdy čtyřstěn P-^^P.y^P^P^ degeneruje 
v úplný čtyřroh. Abychom seznali, že případ ten jest možný, uvažujme 
nejprv dvě z vytknutých sfér, na př. ty, jež jsou na a Kg- Sféry ty leží 
centricky kollinearně pro střed jejich podobnosti jakožto střed kollineace 
a pro jejich rovinu potenční P^., jakožto rovinu kollineace. V kollineaci 
té přísluší rovině potenční P^ ploch K^, Q rovina potenční Pg ploch Kg, Q, 
přímce p-^ přímka ýg, bodům t/j^, Up , P^ na p^ body ř7g, t/'g, P, na p^., čímž 
promětnost příslušných sobě řad bodových na těchto přímkách jest stano- 
vena. Rovina R jdoucí středem seče P^ v přímce Pg v přímce Zg, 
které si tedy též kollinearně přísluší. Přímky p^, p^ jsou polárami přímek Zo 
vzhledem ku Kj a Kg, z čehož seznáváme znovu, že si rovněž kollinearně 
přísluší. Protíná-li R přímku p^ v bodě p^, přímku p^ v bodě Pg, jsou body ty 
též sobě příslušné, z čehož patrno opět, že přímka P^ Pg prochází bodem S^g. 
Bod 0 obou řad na p^, p^ si sám přísluší, jsa v rovině kollineační. Ro- 
viny Sj p^, Sg p2 se protínají v přímce z bodem O ku R normálně vedené 
a z dřívějšího vychází, že jest z osou perspektivnou svazků {O, U^, U\, P^, . .), 
Sg (O, ř7g, f7'g, Pg, ..); proto se protínají také přímky S^ Pj, S, Pg na 
ose 2 v bodě P. Jsou-li Pg, P4 stopy přímek p^, p^ do R, soudíme z toho, 
že i přímky S^F^, S4P4 procházejí bodem P, ježto na př. obdobně soudíme 
že Sj P4, Sg Pg a S4 Pj, S4P4 se protínají na z. Promítneme-li tudíž čtyř- 
stěn Sj Sg Sg S4 z bodu p do R, obdržíme takto čtyřroh Pj Pg Pg P4 k čtyř- 
stěnu tomu perspektivný; spojnice jeho rohů s bodem O jsou přímkami 
Pí’ P-’ Pi- 
z toho seznáváme, že konstrukci dotykových bodů koulí K, K' 
s danými čtyřmi sférami možno též takto uspořádati. 
Sestrojíme bod O, rovinu R a pól její P4* vzhledem ku Kj, pak jest 
Pi = 0 P4*, dále protneme ýj s R v bodě P4 a spojíme P4 s bodem Sj. Spoj- 
nice seče kolmici z O na R v bodě P, z něhož promítneme též Sg, Sg, S4 
do R v body Pg, Pg, P4; pak jest />g = P Pg, />g = PPg, p^ = F F^. 
Výsledek ten plyne přímo z úvahy předcházející. Stopy stěn čtyř- 
stěnu S j Sg Sg S4 tvoří úplný čtyřstran, jehož vrcholy jsou stopami hran 
čtyřstěnu toho, kdežto stopní body P4, P,, Pg, P4 přímek p^, p.^, p^, />4 tvoří 
úplný čtyřroh; první jest druhému vepsán a druhý prvému opsán. Oba 
tvoří dohromady konfiguraci Hesse-ovu deseti bodů a deseti přímek; na 
každé přímce leží tři body a každým bodem procházejí tří přímky kon- 
figurace. Z této vlastnosti plyne, že čtyřroh lze považovat! průmět 
centrálný čtyřstěnu S4 Sg Sg S4 z určitého bodu P. Ježto přímky pi leží 
v rovinách Si z, budou přímky SíFí protínat! přímku z a ježto neleží 
v jedné ro\ ině musí se protínati v témžc bodě na z, který jest tedy 
totožný s P. 
XII. 
