3 
a, b, c, d ^ tečny T sestrojili způsobem známým dvé reálné kuželosečky, 
úloze hovící. Vytkneme-li však bod a v některé z ostatních čtyř ploch 
(v obraze Čárkovaných), jsou výsledkem dvě ellifsy imaginárně, spolu 
sdružené K, K' . Neboť svazek kuželoseček ,určený základními body a, h, c, 
d, seče tečnu T v involuci, jejíž dvě družiny g^ g^, \ dostaneme v průse- 
čících T s křivkami degenerovanými [a b, c d), [a d, b c)d) Tyto dvě družiny 
se rozdělují, involuce jest elliptická a samodružné body její y jsou imagi- 
nárně; kuželosečky {abcdx) ^K, [abcdy] = K' jsou tedy pomyslné. 
Jsouť to ellipsy; neboť kdyby měly reálný bod úběžný u^, byla by body 
a b c a U-j^ sťanovena kuželosečka jen reálná. Tyťo imaginárné ellipsy 
mají společné reálné osy (co do polohy), reálný sťřed, 4 reálné body, 4 re- 
álné ťečny a jediný reálný ťrojúhelník polárný o v^, kdež 
jsou úběžné body os. Každému jinému reálnému pólu p přísluší polára 
ímaginárná P a naopak. Neboť jinak by spojnice ap proťala P v reálném 
bodě ýi, a bod a^, sesťrojený dle {p pi a a-P = — 1, příslušel by křivce, 
kťerá majíc pěť reálných bodů v a a-^b c d, byla by reálná celá. Proto také 
veškeré průměry křivky (mimo X, Y) jsou imaginárné; reálná pak přímka 
jdoucí středem o není průměrem křivky. ^) 
Má-li imag. ellipsa K vůbec dva reálné body a, b, indukuje na přímce 
Xb výjimkou reálnou involuci harmonických pólů; jsouť to zajisté každé 
dva reálné body na reálné přímce ab, které jsou body a, b odděleny harmo- 
nicky. Z toho soudíme, že každému reálnému pólu p, který leží ha a b, 
odpovídá sice imag. polára P, že však její reálný bod p-^^ ®) připadá na přímím 
myslné. Z toho jde, že ímaginárná kuželosečka tohoto druhu miiže míti buď dva 
nebo i čtyři body reálné. A duálně z kvadratické rovnice v souřadnicích přímkových 
plyne, že táž křivka může míli také dvě nebo i čtyři tečny reálné. — Reálná přímka 
P = 0 seče křivku K = (p y- i tp = 0 obecně ve dvou imaginárných bodech ny. nu, 
ale nesdružených (t. j. souhlasné souřadnice obou bodů nemají komplexní hodnoty 
navzájem konjugované) , protože kořenům rovnic P = 0, cp i tp 0 nepříslušejí 
vlastnosti kořenuv algebraické rovnice o koefficientech reálných. Proto také střed 
úsečky ny není reálný a průměry křivky jsou obecně pomyslné. Výjimkou může 
býti jeden z průsečíků í-Hj, w ^2 reálný a druhý pomyslný, anebo mohou býti i oba 
reálné. — Rovněž snadno lze se přesvědčiti, že reálnému pólu přísluší sice zase 
přímá polára jakožto geom. místo čtvrtých bodů harmonických na sečnách vedených 
pólem, ale obecně ímaginárná. Další pak důsledek je, že na libovolné přímce ne- 
indukuje obecně křivka K reálnou involuci harmonických pólů, ježto reálnému 
pólu jednomu odpovídá obecně na téže přímce sdružený pól pomyslný — zcela 
nOvý to druh řad projektivných. O jednotlivých výjimkách těchto pravidel 
mluveno bude blíže při jednotlivých druzích kuželoseček pomyslných. 
^^) Střed involuce jest w, potence = — oo P. 
To vše potvrzuje i šetření analytické. Délky poloos ellipsy mají hodnoty 
komplexní a-\- ia, h i d ■ křivce přísluší rovnice o imaginárných koefficientech; 
středy tětiv rovnoběžných jsou pomyslné atd. (viz poznámky pod čarou na sti. 2. a 3.). 
Každá imag. přímka P, ležící v rovině reálné, obsahiije, jak známo, jeden 
bod reálný pj, který má společný se svou imaginárně sdruženou přímkou P. Ana- 
lyticky lze ukázati, že pohybuje-]i se reálný pól p po libovolné přímce reálné R, 
která nespojuje dva reálné body hořejší imaginárné ellipsy, vytvořuje reálný bod 
1* 
XXXI. 
