21 
Ale i vrchol plochy s může býti pomyslný; z ného promítá se na př. 
reálná plocha 2. stupně nerozvinutelná ^-^imaginárnou plochou kuželovou 
která může míti toliko dvě tečné roviny reálné «, /3. Každým bodem 
imaginárným s prochází jediná přímka reálná 0, která totiž bod s spojuje 
s imaginárným bodem sdruženým, a přímkou 0 lze proloží ti ku dvě 
roviny tečné, za známých podmínek reálné. Je-li 0 tečnou ku má 
také kužel jedinou tečnou rovinu reálnou a he a spolu dotyčnou 
přímku 0 reálnou. Neprochází-li přímkou 0 žádná reálná tečná rovina 
ku nemá x^ ani reálné roviny tečné, aniž reálné přímky povrchové. — 
Imaginárný vrchol s může býti dán jedním z obou sairodružných bodův 
elliptické involuce, dané na přímce 0 dvěma družinami bodovými. 
V. Imaginárně plochy 2. stupně nerozvinutelné. 
Dosud je známa theorie toliko jediné takové plochy, totiž jakožto 
direkční v polárné soustavě prostorové, jejíž žádný pól nezapadá do své 
polárné roviny, a to nastane tehdy, když žádná polárná rovina neodděluje 
pól od středu soustavy. Tato plocha má tři reálné osy (délky = 'li a, "1 i h, 
1% c^), ale žádného reálného bodu, aniž reálné roviny tečné. 
Jiného druhu plocha imaginárná stupně 2. má imaginárný střed 
a osy pomyslné i co do polohy, prochází však jednotlivými body reálnými, 
dotýká se reálných rovin, ano může i obsahovali celé reálné křivky. 
Příkladem budiž plocha q? určená osmi reálnými body na sobě ne- 
závislými) a reálnou tečnou T. Danými osmi body jest určena prostorová 
1) Rovnice a~^ -f A -|- 1 = 0. 
Sedmi body v prostoru lze proložili obecně bikvadratik L* ,, prvého 
druhu", které procházejí vesměs dalším určitým bodem osmým. Aby tedy křivka L* 
byla určitá, nesmí daných osm bodli tvořiti takovéto skupení sdružené (něm. ,,asso- 
ziierte Punkte"), a nemá-li degenerovali, nesmí žádných sedm bodů daných leželi 
na téže křivce kubické, žádných pět v jedné rovině a žádné tři v jedné přímce. — 
Osmi reálnými body a reálnou tečnou rovinou x je vždy určena aspoň jedna 
reálná plocha gi-, někdy však i dvě plochy pomyslné. Seče-li rovina x křivku TJ ve 
čtyřech bodech a, b, c, d, seče x svazek ploch (o základnici L*) ve svazku kuželo- 
seček {ab c d), jež mají reálný společný polárný ^ p q r. Kuželosečky degenerované 
{a b, c d), {a c, b d), (a d, b c) určují s křivkou tři reálné sborcené plochy 2. stupně, 
které se roviny x dotýkají v bodech p, q, r. Jsou -li však body a, b reálné, c, d 
imag. sdružené, jsou spojnice a b. c d reálné, ostatní však pomyslné; polárný /\ p q r 
má jediný vrchol reálný {ab, cd) =p a pi'otější stranu reálnou (co do polohy), 
kdežto vrcholy q, v jsou pomyslné. určuje tedy s rovinou x jednu reálnou plochu 
sborcenou, již i'Ovina x v reálných přímkách a b, c d seče a v bodě p se dotýká, 
kdežto ostatní dvě plochy jsou imaginárné. Jsou-li posléze všecky čtyii průsečíky 
(t L^) pomyslné, jsou nicméně spojnice sdružených bodů, na př. ab, cd reálné, tedy 
i pól p = {ab, cd). Ale i ostatní pól}i q, r jsou reálné, každý jakožto průsečík 
dvou sdružených přímek imaginárných q = {a c, bd), r = {ad, bc). V tomto pří- 
padě jest tedy zase celý polárný p q r reálný, a výsledek skládá se ze tří reálních 
ploch 2. stupně, jedné sborcené (jíž rovina x se dotýká v bodě p, v reálných přímkách 
a b, c d ]i protínajíc) a dvou nepřímkových (dotyčné body q, r). Osm reálných 
XXXI. 
