10 
13. Devět bodů A^, . . , B tvoří (v odst. 9.) basi křivek /í® s devíti 
dvojnásobnými body. Tečné ve dvojnásobných bodech má ovšem každá 
křivka svazku jiné; specielně také v bodu B. 
Dle věty dokázané v odst. 2. musí však tyto tečné harmonicky oddě- 
lovat! tečnu ke křivce (J) a společnou tečnu ostatních A'® bodem B prochá- 
zejících. Z toho plyne, že tečny 'křivek svazkí-i určeného devíti dvojnásobnými 
body tvoří involuci, jejíž samodružné elementy jsoii tečna ke křivce (J) a tečna 
ke křivce kukické určené těmi devíti body. Ale tyto samodružné elementy 
jsou tečné těch křivek, jež mají bod úvratu v bodě B. Jedna z nich je dvoj- 
násobná křivka kubická; druhá se tedy dotýká křivky (J). T nabyli jsme 
výsledku; 
Křivka (J), jež je geometrickým místem devátých dvojnásobných bodů, 
křivek Šestého stupně mající.h osm dvojnásobných bodů předepsaných, 
je zároveň obálkou všech tečen úvratu těchto křivek. 
14. Poznámka. V předchozích úvahách užívali jsme svazku křivek 
A® se společnými osmi body dvojnásobnými a se společným bodem do- 
tyčným, jenž ležel na křivce (J). Uvažujme podobný svazek, jehož společný 
bod dotyčný nechť však neleží na křivce (J). Všechny křivky o těchto 
společných bodech se protínají ještě ve dvou bodech AT, X\. Ve svazku 
musí býti obsažena křivka mající v A'^ bod dvojnásobný. To nemůže býti 
nerozpadající se A®, vzhledem k volbě bodu Xy, může to býti jen křivka 
kubická A®, určená body A^, X^ a počítaná dvojnásob. Tato křivka tedy 
musí náležeti do svazku, t. j. obsahovat! také body X. 2 , X'^. Ale každá A® 
svazku protne nalezenou 'A® mimo pevné body A^ (16 průsečíků) a bod X^ 
[jeden průsečík; dotyk není možný, ježto AJ neleží na křivce (J)] již jen 
v jednom bodě a ten je dle známé vlastnosti kubické křivky rovněž pevný. 
Protne tedy A® všechny křivky svazku v jediném bodu A'., = AT; z toho 
plyne zároveň, že všechny křivky svazku v bodě X^ se navzájem dotýkají. 
Máme větu; Mají-li dvě A® společných osm dvojnásobných bodů 
a mimo to se v jednom jednoduchém bodu dotýkají, dotýkají se nutně ještě 
ve druMm bodu jednoduchém. 
15. Zvolme devět bodů A^, ... , Ag. B takových, jež vyhovují pod 
mince výše nalezené a budiž — v. odst. 9. — 
^ ř (-^,) + d F{^i) = (1) 
rovnice svazku křivek šestého stupně s dvojnásobnými body Ay, . . . Mg, B. 
Jestliže obsahuje tento svazek křivku, mající ještě desátý dvojnásobný 
bod C, musí tento bod ležeti na křivce (J) určené body Ay, . . . , Ag, na níž 
leží také B. Jestliže však sestrojíme křivku (JJ, určenou body A,, . . . , Ag, 
B tak. jako je křivka (J) určena bedy Ay ... ., Ag pak na této křivce 
nutně leží bod Ay, neboť to je devátý dvojnásobný bod při osmi daných 
A.y, ... , Ag, B) ale leží na ní také bod C. Lze tedy desáté dvojnásobné 
body hledali jen mezi průsečíky obou křivek {,]), (JJ, ovšem mimo 
XLII. 
